Funzioni di più variabili con parametro [No maiuscolo]

[Matemax1]

Ciao a tutti, sono nuovo del sito e avrei alcuni problemi nella risoluzione di esercizi sullo studio di funzioni in più variabili. Ve ne vorrei sottoporre qualcuno, vi ringrazio in anticipo per la spiegazione.

Problema 1:

Determinare e disegnare il campo di esistenza della seguente funzioni con $a in RR_+$ e stabilirne la natura topologica:
$f(x,y) = arctg(|x+y|^a)$
Studiare al variare di $a in RR_+$ continuità e derivabilità parziale nel punto $(0,0)$.
Se $a in RR$ cosa cambia?

Problema 2:

Data la funzione
$f(x,y) = (x+y)^x$
a) determinare e disegnare il suo campo di esistenza, stabilendone la natura topologica;
b) studiare la continuità di f e la sua derivabilità parziale nel punto $(1,0)$

Problema 3:

Data la funzione:
$f(x,y) = \frac{arcsin(x^2+y^2)}{x^2+y^2}$
a) Determinare e disegnare il suo campo di esistenza e stabilirne la natura topologica;
b) stabilire se f sia prolungabile per continuità nell'origine;
c) detto $\bar f$ il prolungamento per continuità di f, stabilire lungo quali direzioni $\bar f$ ammetta derivate direzionali nell'origine.

[mod="Tipper"]Titolo modificato (no titoli in maiuscolo).[/mod]

[Matemax1]

"Matemax":Ciao a tutti, sono nuovo del sito e avrei alcuni problemi nella risoluzione di esercizi sullo studio di funzioni in più variabili. Ve ne vorrei sottoporre qualcuno, vi ringrazio in anticipo per la spiegazione.

Problema 1:

Determinare e disegnare il campo di esistenza della seguente funzioni con $a in RR_+$ e stabilirne la natura topologica:
$f(x,y) = arctg(|x+y|^a)$
Studiare al variare di $a in RR_+$ continuità e derivabilità parziale nel punto $(0,0)$.
Se $a in RR$ cosa cambia?

Problema 2:

Data la funzione
$f(x,y) = (x+y)^x$
a) determinare e disegnare il suo campo di esistenza, stabilendone la natura topologica;
b) studiare la continuità di f e la sua derivabilità parziale nel punto $(1,0)$

Problema 3:

Data la funzione:
$f(x,y) = \frac{arcsin(x^2+y^2)}{x^2+y^2}$
a) Determinare e disegnare il suo campo di esistenza e stabilirne la natura topologica;
b) stabilire se f sia prolungabile per continuità nell'origine;
c) detto $\bar f$ il prolungamento per continuità di f, stabilire lungo quali direzioni $\bar f$ ammetta derivate direzionali nell'origine.

Ho provato a risolvere i problemi nella maniera seguente:

Problema 1

Poiché $arctg: [-\infty, \infty] \to [-\pi/2, \pi/2]$ allora il dominio è per ogni $(x,y) \in \RR, a \in \RR_+$ per quanto riguarda il disegno del grafico, non c'è nulla da disegnare poiché è tutto l'insieme delle coppie $(x,y)$.

Se $a in RR$ allora per $a <0$ si ha $y != -x$ quindi per il grafico del dominio disegno la retta $y = -x$ tratteggiata e disegno tutto il resto.

il $lim_{(x,y) \to (0,0)} arctg(|x+y|^a) = \{(0 text( se ) a > 0),(1 text( se ) a = 0),(\pi/2 text( nel caso ) a in \RR text( ) a < 0):}$.

Per la derivata non saprei.

Problema 2:

Ho provato così

Se $x > 0$ e $y >0$ non c'è problema
Se $x = 0$ e $y > 0$
Se $x = 0$ e $y = 0$ forma indeterminata $0^0$
Se $x + y < 0$ cioè $y < -x$ allora $x != k/(2n)$ cioè diverso da radice pari di un numero negativo
Poi c'è il caso $x < 0$ allora $y != x$.

Per il limite e il grafico non saprei. Il problema 3 invece mi risulta un pò complicato.