Funzioni di più variabili
Ciao, stavo provando a fare questo esercizio:
Data: $f(x,y) = x*y*(x^2-y^2)/(x^2+y^2)$ per $(x,y)$ diverso da $(0,0)$ e $f(0,0) = 0$ per $(x,y)=(0,0)$
Domanda1: trovare $f_(x y) (0,0)$ (simbolo indica prima la derivata parziale rispetto a x e poi rispetto a y).
Risposta: $f_(x) (x,y) = (x^4*y + 4*x^2*y^3 - y^5)/(x^2+y^2)^2$
Ora: $f_(x y) (0,0) = lim_(y->0) (f_(x) (0,y) - f_(x) (0,0))/y = lim_(y->0) (-y^5 - 0)/y^4 = lim_(y->0) (-y) = 0$ avendo tenuto conto che $f_(x) (0,0) = 0$.
Quindi apparentemente la risposta alla domanda è $f_(x y) (0,0) = 0$. Le soluzioni riportano invece $f_(x y) (0,0) = 1$ e il corrispondente $f_(y x) (0,0) = -1$
Domanda2: Chi sbaglia tra i due?
Se a qualcuno va di controllare grazie. Io ho applicato le definizioni. Cosa vi torna?
Ciao, grazie.
Data: $f(x,y) = x*y*(x^2-y^2)/(x^2+y^2)$ per $(x,y)$ diverso da $(0,0)$ e $f(0,0) = 0$ per $(x,y)=(0,0)$
Domanda1: trovare $f_(x y) (0,0)$ (simbolo indica prima la derivata parziale rispetto a x e poi rispetto a y).
Risposta: $f_(x) (x,y) = (x^4*y + 4*x^2*y^3 - y^5)/(x^2+y^2)^2$
Ora: $f_(x y) (0,0) = lim_(y->0) (f_(x) (0,y) - f_(x) (0,0))/y = lim_(y->0) (-y^5 - 0)/y^4 = lim_(y->0) (-y) = 0$ avendo tenuto conto che $f_(x) (0,0) = 0$.
Quindi apparentemente la risposta alla domanda è $f_(x y) (0,0) = 0$. Le soluzioni riportano invece $f_(x y) (0,0) = 1$ e il corrispondente $f_(y x) (0,0) = -1$
Domanda2: Chi sbaglia tra i due?
Se a qualcuno va di controllare grazie. Io ho applicato le definizioni. Cosa vi torna?
Ciao, grazie.
Risposte
"nirvana":
... avendo tenuto conto che $f_(x) (0,0) = 0$...
ciao! non ho fatto i conti
però a occhio questo mi pare l'unico punto dubbio: come hai ottenuto questo risultato?
"dissonance":
[quote="nirvana"]... avendo tenuto conto che $f_(x) (0,0) = 0$...
ciao! non ho fatto i conti
però a occhio questo mi pare l'unico punto dubbio: come hai ottenuto questo risultato?[/quote]Ciao, ho applicato la definizione:
$f_(x) (0,0) = lim_(x->0) (f(x,0)-f(0,0))/x = lim_(x->0) (0-0)/x = 0$ dal momento che $f(0,0)=0$
Che si fa?
"nirvana":
Risposta: $f_(x) (x,y) = (x^4*y + 4*x^2*y^3 - y^5)/(x^2+y^2)^2$
Ora: $f_(x y) (0,0) = lim_(y->0) (f_(x) (0,y) - f_(x) (0,0))/y = lim_(y->0) (-y^5 - 0)/y^4 =
Domanda2: Chi sbaglia tra i due?
tu, mi pare
direi che ti sei dimenticato la $y$ "del rapporto incrementale" a denominatore.
Pero' prova a ricontrollare i calcoli, perche' anche correggendo con la y a denominatore che hai lasciato per strada poi non mi torna il segno
s.e.o.
"Fioravante Patrone":
[quote="nirvana"]Risposta: $f_(x) (x,y) = (x^4*y + 4*x^2*y^3 - y^5)/(x^2+y^2)^2$
Ora: $f_(x y) (0,0) = lim_(y->0) (f_(x) (0,y) - f_(x) (0,0))/y = lim_(y->0) (-y^5 - 0)/y^4 =
Domanda2: Chi sbaglia tra i due?
tu, mi pare
direi che ti sei dimenticato la $y$ "del rapporto incrementale" a denominatore.
Pero' prova a ricontrollare i calcoli, perche' anche correggendo con la y a denominatore che hai lasciato per strada poi non mi torna il segno
s.e.o.[/quote]
Ach...hai ragione, semplice svista, anche se importante...però come dicevi tu fa $-1$ e non $1$ come nelle soluzioni...i calcoli dovrebbero essere giusti...
Ho fatto i conti (grrrr!) e mi torna anche a me -y^5 al numeratore.
A questo punto, potrebbe essere un errore "di stampa" del testo.
A meno che con f_xy il testo (immagino) da cui hai preso l'esempio non indichi che si fa prima la derivata rispetto ad y e poi rispetto ad x.
Mi sembra una ipotesi remotissima, ma mi sembra di ricordare che ci sia qualche testo che usa questa convenzione.
Vedi, ad esempio, questo riferimento al "continental usage" qui:
http://kr.cs.ait.ac.th/~radok/math/mat6/calcul10.htm
anche se si riferisce alle "delta f su delta x" etc...
A questo punto, potrebbe essere un errore "di stampa" del testo.
A meno che con f_xy il testo (immagino) da cui hai preso l'esempio non indichi che si fa prima la derivata rispetto ad y e poi rispetto ad x.
Mi sembra una ipotesi remotissima, ma mi sembra di ricordare che ci sia qualche testo che usa questa convenzione.
Vedi, ad esempio, questo riferimento al "continental usage" qui:
http://kr.cs.ait.ac.th/~radok/math/mat6/calcul10.htm
anche se si riferisce alle "delta f su delta x" etc...
Penso allora che sia un errore di testo, visto che la notazione è quella "giusta". Grazie per il tempo! Ciao!
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