Funzioni di classe c^(1) e domini sempl.connessi
ciao ragazzi sto dimostrando la formula di taylor in due variabili e mi è sorto un dubbio mentre espongo come un matematico matto tale dimostrazione.
allora le ipotesi della formula di taylor impongono che affinche ci sia uno sviluppo la funzione deve essere di classe $c^(2)(A)$ dove $A$ e il domino di definizione della nostra funzione. la dimostrazione che viene fatta e semplicemente di considerare una restrizione ad una curva $\gamma:I sube RR->RR^n$ cosi che possiamo applicare la formula di taylor in una dimensione. adesso affinche si faccia questa restrizione ad una curva serve ipotesi che il dominio $I$ (che in particolare è un sottoinsieme di $A$)è semplicemente connesso affinche si possa costruire una retta di equazione $x_0+th$ dove $h$ è un incremento infinitesimo ma nel teorema non viene detto ma viene solo indicato che la funzione è derivabile con continuità in $A$ questa condizione implica anche che l insieme è semplicemente connesso ?? secondo me no perche la continuità in $RR^n$ non è garantita dalla derivabilità ma dalla differenziabilità quindi se nell' ipotesi di lagrange ci sarebbe scritto che $f$ è differenziabile in ogni punto di $A$ allora questo implicava la continuità in $A$ e quindi implicava che insieme $A$ e quindi piu in particolare insieme $I$ ,è un insieme semplicemente connesso.
allora le ipotesi della formula di taylor impongono che affinche ci sia uno sviluppo la funzione deve essere di classe $c^(2)(A)$ dove $A$ e il domino di definizione della nostra funzione. la dimostrazione che viene fatta e semplicemente di considerare una restrizione ad una curva $\gamma:I sube RR->RR^n$ cosi che possiamo applicare la formula di taylor in una dimensione. adesso affinche si faccia questa restrizione ad una curva serve ipotesi che il dominio $I$ (che in particolare è un sottoinsieme di $A$)è semplicemente connesso affinche si possa costruire una retta di equazione $x_0+th$ dove $h$ è un incremento infinitesimo ma nel teorema non viene detto ma viene solo indicato che la funzione è derivabile con continuità in $A$ questa condizione implica anche che l insieme è semplicemente connesso ?? secondo me no perche la continuità in $RR^n$ non è garantita dalla derivabilità ma dalla differenziabilità quindi se nell' ipotesi di lagrange ci sarebbe scritto che $f$ è differenziabile in ogni punto di $A$ allora questo implicava la continuità in $A$ e quindi implicava che insieme $A$ e quindi piu in particolare insieme $I$ ,è un insieme semplicemente connesso.
Risposte
"alessandrof10":
Affinché si faccia questa restrizione ad una curva serve l'ipotesi che il dominio $I$ (che in particolare è un sottoinsieme di $A$) sia semplicemente connesso perché si possa costruire una retta di equazione $x_0+th$ dove $h$ è un incremento infinitesimo ma nel teorema non viene detto, viene solo indicato che la funzione è derivabile con continuità in $A$. Questa condizione implica anche che l'insieme è semplicemente connesso?
Allora:
1. $I$ non è un sottoinsieme di $A$, visto che $A \subset \mathbb{R}^n$ e $I \subset \mathbb{R}$.
2. Non ho capito il dubbio di cui parli, somiglia molto a questa domanda qui. Non capisco però cosa c'entri la semplice connessione: quello di cui necessitiamo è la connessione, che di solito si assume banalmente su $I$, visto che non cambia la sostanza del teorema, e si enumera tra le ipotesi per $A$.[/list:u:22834vc1]
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