Funzioni di Bacherman
Consideriamo in le funzioni di Rademacher, che sono le funzioni così costruite:
r1 è la funzione costante 1;
r2 è la funzione che vale 1 (0,1/2) e vale -1 in (1/2,1);
poi, successivamente, si divide a metà ciascuno degli intervalli e si definisce la funzione uguale a 1 nella prima metà e -1 nella seconda,e così di seguito; è chiaro che la norma di tali funzioni è 1; che siano ortogonali viene dalla considerazione che quando si moltiplicano due diverse funzioni si ottiene una funzione che in ogni intervallo in cui quella di indice minore è costante cambia segno un numero pari di volte. Secondo me invece la funzione cambia segno un numero dispari di volte. Che ne pensate??
r1 è la funzione costante 1;
r2 è la funzione che vale 1 (0,1/2) e vale -1 in (1/2,1);
poi, successivamente, si divide a metà ciascuno degli intervalli e si definisce la funzione uguale a 1 nella prima metà e -1 nella seconda,e così di seguito; è chiaro che la norma di tali funzioni è 1; che siano ortogonali viene dalla considerazione che quando si moltiplicano due diverse funzioni si ottiene una funzione che in ogni intervallo in cui quella di indice minore è costante cambia segno un numero pari di volte. Secondo me invece la funzione cambia segno un numero dispari di volte. Che ne pensate??
Risposte
Non mi sembra questa una risposta perchè nel link che mi hai dato non dice se la funzione deve cambiare di segno un numero pari o dispari di volte!
Ti costa così tanto guardare un po' i conti fatti nella soluzione all'esercizio?
Sono nel post successivo a quello segnalato.
Sono nel post successivo a quello segnalato.
Ho riletto tutto. E' come dicevo io, il numero è dispari. Grazie dell'aiuto.
Si trattava di adattare un po' questo argomento:
Infatti [tex]$u_n$[/tex] assume i valori [tex]$\underbrace{1,-1,1,-1,\ldots ,1,-1}_{\text{$2^n $ valori}}$[/tex] in [tex]$[0,1]$[/tex], ergo cambia segno [tex]$2^n-1$[/tex] volte.
Probabilmente il testo intende il "cambiar segno" non in senso letterale; in altre parole, "cambia segno un numero pari di volte" è usato impropriamente per dire che esistono un numero pari (esattamente [tex]$2^n$[/tex]) di sottointervalli [tex]$I_{n,k} \subseteq [0,1]$[/tex] tali che [tex]$u_n$[/tex] ha segni opposti in [tex]$I_{n,k}$[/tex] e [tex]$I_{n,k+1}$[/tex].
"gugo82":
For $n>m in NN$, in each maximal subinterval $I_k\subseteq [0,1]$ where $u_m$ is a constant, the function $u_n$ changes sign exactly $2^(n-m) -1$ times
Infatti [tex]$u_n$[/tex] assume i valori [tex]$\underbrace{1,-1,1,-1,\ldots ,1,-1}_{\text{$2^n $ valori}}$[/tex] in [tex]$[0,1]$[/tex], ergo cambia segno [tex]$2^n-1$[/tex] volte.
Probabilmente il testo intende il "cambiar segno" non in senso letterale; in altre parole, "cambia segno un numero pari di volte" è usato impropriamente per dire che esistono un numero pari (esattamente [tex]$2^n$[/tex]) di sottointervalli [tex]$I_{n,k} \subseteq [0,1]$[/tex] tali che [tex]$u_n$[/tex] ha segni opposti in [tex]$I_{n,k}$[/tex] e [tex]$I_{n,k+1}$[/tex].
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