Funzioni derivabili al di fuori del dominio?

[barragan]

Da quello che so io derivabilità implica continuità e continuità fuori dal dominio è assurda.
Quando però faccio per esempio $arcsin(|x|/x+1)$ che la equivalgo per semplicità a $1/sin(|x|/x+1)$ e calcolo la derivata nel punto x=-1, mi viene come risultato 0 che comunque è un l di conseguenza la retta tangente dovrebbe esistere in quel punto, ma tangente a che se la funzione in quel punto non esiste? Un ingegnere mi ha detto che a prescindere derivare una funzione fuori dal proprio dominio è sbagliato, quindi ci credo pure ma come mai allora mi viene così?

Altra domanda. Noto che in ogni e dico ogni operazione di derivazione in un punto mi possono venire due risultati possibili: 0 se non riesco a semplificare l'h al denominatore e non vedo nessun limite notevole, un n>0 o n<0 in caso del tutto contrario e più o meno infinito nei casi relativi. La cosa antipatica però è che scegliere come usare la h al denominatore (quando non posso semplificarlo) mi fa la differenza tra 0/0 e 0!
Se decido prima di spostare l'h al numeratore e fare una cosa (x/n)·h allora mi viene 0 in ogni caso, mentre se decido di sostituire l'h con 0 direttamente quando mi trovo con (x/n)/h allora mi viene invariabilmente 0/0 in caso x/n fosse 0. Qual'è l'ordine corretto? Ed è normale che se non semplifico l'h o uso un limite notevole ho come risultato 0 in ogni caso a prescindere dall'equazione?

[Gi81]

Non è affatto vero che $arcsin(alpha)= 1/(sin(alpha))$. L'arcseno è l'inverso del seno, non il reciproco.

[barragan]

l'inverso quindi com'è?
Mi puoi rispondere anche alla seconda domanda per favore?

[Gi81]

Prima di tutto: analizziamo la tua funzione $f(x)= arcsin( |x|/x +1)$.
Troviamo il dominio.
Naturalmente $x!=0$, perché c'è $x$ a denominatore.
Se $x>0$ si ha $|x|/x+ 1 = x/x +1 = 1 +1=2$, quindi avremmo $f(x)=arcsin(2)$, che non è definito
(ricordo che $arcsin :[-1,1]->[-pi/2,pi/2]$, quindi l'argomento dell'arcsin deve essere compreso tra $-1$ e $1$).
Se $x<0$ si ha $|x|/x +1 = (-x)/x +1 = -1+1=0$, dunque $f(x)=arcsin(0)=0$.

Pertanto il dominio è $(-oo,0)$, e la funzione qui diventa $f(x)=0$ (quindi è una funzione molto semplice).
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Non sai cosa sia la funzione inversa di una funzione? Guardati un po' la teoria.
Per farla breve, poiché $sin(pi/4)= sqrt2/2$, si ha $arcsin(sqrt2/2)=pi/4$.
In generale se $sin(alpha)= a$, allora $arcsin(a)= alpha$.

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Alla tua seconda domanda ti rispondo: scrivi qualche esempio.

[barragan]

Scusa ho scritto male, la funzione in esame era $arcsin(|x|/(x+1))$ e ho replicato i tuoi calcoli e mi viene che il dominio è $(-∞,+∞)$ con x diverso da -1 poiché per $x<0$, $(-x/(x+1))$ risulta $-10$, $(x/(x+1))$ risulta $0 A questo punto faccio la derivazione in un generico punto x0 diverso da -1 del dominio (sempre di quello parla il libro), quindi prendo $f(x)=0$ e vedo che per $x->n$ e per io ho sempre $f(x0+h)=h$ perché non posso sostituire nulla in $f(x)=0$, quindi risulta $f'(x)=1$ quindi derivabile in tutto il dominio quindi anche continua(corretto?).
A questo punto non posso vedere se ci sono punti angolosi e cuspidi (perché manca la condizione iniziale) quindi devo verificare il comportamento asintotico. Allora comunque risulta $lim f(x)$ con $x->+-∞$ uguale a $0$(corretto?), di conseguenza la funzione tende asintoticamente a 0 con equazione y=0 per x->+∞ e facendo $f(x)-l$ vedo che il grafico della funzione tende a $y=0$ dall'alto. A questo punto dovrei aver terminato correttamente l'esercizio (spero), e graficamente quello che dovrei ottenere è un asintoto che tende a confondersi con l'asse x poiché y tende a 0.
Ho sbagliato qualcosa?

La distinzione che ho fatto io tra insieme di definizione e dominio è che l'insieme di definizione è l'insieme di punti in cui la funzione è definita, mentre il dominio è l'insieme delle x tali che la funzione sia definita in quell'insieme.

[Gi81]

$f(x):= arcsin( |x|/(x+1) )$

$x!= -1$ e $-1<= |x|/(x+1) <=1$

La disequazione $-1<= |x|/(x+1)$ ha soluzione $x > -1$:

diventa $0<= (|x|+x+1)/(x+1)$, cioè $ (|x|+x+1)/(x+1)>=0$
Se $x>=0$ è sempre verificata, mentre se $x<0$ si ha $1/(x+1)>=0$, cioè $-1

La disequazione $|x|/(x+1) <=1$ (limitatamente a $x > -1$) ha soluzione $x>= -1/2$:

diventa $ (|x|-x-1)/(x+1)<=0$
Se $x>=0$ si ha $-1/(x+1)<=0$, ovvero $x+1>0$ cioè $x> -1$, quindi va bene tutto $x>=0$.
Se $-1 2x+1>=0 => x>= -1/2 $

Quindi il dominio è $x >= -1/2$

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[barragan]

Mammamia come sto messo male D: e pensare che mi mancano 20 giorni all'esame e 160 pagine di teoria ancora da fare.
Questo metodo per trovare il dominio funziona solo con le funzioni goniometriche? Nel senso; se mi trovo davanti un polinomio di n-esimo grado o un'esponenziale o un logaritmo o un ippopotamo volante, quello che posso fare sempre per sapere correttamente il dominio di quella funzione specifica è;
·mettere (se c'è) una condizione iniziale (tipo x diverso da -1)
·prendere gli estremi dell'insieme di definizione e verificare le disuguaglianze
·unire/intersecare i risultati così ottenuti
Non c'è un modo più immediato per risparmiare tempo con i calcoli? Anche perché se ho una funzione con un insieme di definizione $[R]$, che faccio le disequazioni relative a $-∞ Scusa se sto topic sta diventando interminabile, ma se non capisco bene questa cosa del dominio l'analisi qualitativa della funzione non la riuscirò mai a fare bene e molto probabilmente nemmeno tutto quello che ne consegue.