Funzioni dello spazio Lp e completezza di Lp
Salve,
avrei un dubbio: se una funzione sta in uno spazio $Lp$ vuol dire che la sua norma $p$ è limitata, ma allora posso dire che la funzione è limitata quasi ovunque? Ho pensato che la risposta è affermativa, perchè in quel caso $ int |f|^p dmu < infty$, quindi $|f|^p$ è limitata quasi ovunque e quindi anche $|f|$. E' un discorso che va bene sia per funzioni a valori reali sia per quelle a valori complessi?
Perciò vi chiedo: nella dimostrazione della completezza di $L_p$ (http://math.unipa.it/~trapani/Operatori/Ch1.pdf , pagina 3-4, punto 1.5) ho capito che quella serie converge, ma la funzione $f_(n_1)$ non potrebbe influenzare l'andamento della somma? Io ho pensato che poichè la convergenza coinvolge i moduli , se è giusto il ragionamento che ho fatto $|f_(n_1)|$ è limitato, quindi comunque non influisce. Che mi dite?
Grazie mille a tutti!
avrei un dubbio: se una funzione sta in uno spazio $Lp$ vuol dire che la sua norma $p$ è limitata, ma allora posso dire che la funzione è limitata quasi ovunque? Ho pensato che la risposta è affermativa, perchè in quel caso $ int |f|^p dmu < infty$, quindi $|f|^p$ è limitata quasi ovunque e quindi anche $|f|$. E' un discorso che va bene sia per funzioni a valori reali sia per quelle a valori complessi?
Perciò vi chiedo: nella dimostrazione della completezza di $L_p$ (http://math.unipa.it/~trapani/Operatori/Ch1.pdf , pagina 3-4, punto 1.5) ho capito che quella serie converge, ma la funzione $f_(n_1)$ non potrebbe influenzare l'andamento della somma? Io ho pensato che poichè la convergenza coinvolge i moduli , se è giusto il ragionamento che ho fatto $|f_(n_1)|$ è limitato, quindi comunque non influisce. Che mi dite?
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