Funzioni definite q.o. su uno spazio misurabile
Ciao ragazzi, non riesco a cogliere il senso di questa definizione che trovo sul Real & Complex di Rudin; $\mathcal{M}$ indicherà una $\sigma$-algebra su un insieme $X$ e $\mu$ una misura su $\mathcal{M}$.
Data una funzione $f$ [complessa], definita su un insieme $E\in\mathcal{M}$, diremo che $f$ è misurabile su $X$ se $\mu(E^c)=0$ e se $f^{-1}(V)\cap E\in\mathcal{M}$ per ogni aperto $V\subseteq CC$.
Primo dubbio: che bisogno c'è di intersecare $f^{-1}(V)$ con $E$ se $f$ è definita proprio su $E$ (per cui $f^{-1}(V)\subseteq E$)? La cosa potrebbe acquistare senso interpretando "definita su $E$" come "definita almeno su $E$ (= su un sottoinsieme di $X$ contenente $E$)".
Dopo aver dato questa definizione, Rudin accenna alla possibilità di prolungare $f$ su $E^c$ con valore zero per ottenere una funzione misurabile nel senso della vecchia definizione (i.e. $f:X\to CC$ si dice misurabile se $f^{-1}(V)\in\mathcal{M}$ per ogni aperto $V$ di $CC$), ma non avverte il lettore dell'intenzione di far uso di una tale convenzione da quel momento in poi: assumo quindi che non venga fatta alcuna convenzione. D'altra parte, che mi rappresenta il simbolo (che compare qualche riga più in basso)
\[\int_X f\ \text{d}\mu\]
se $f$ non è definita su tutto $X$???
Data una funzione $f$ [complessa], definita su un insieme $E\in\mathcal{M}$, diremo che $f$ è misurabile su $X$ se $\mu(E^c)=0$ e se $f^{-1}(V)\cap E\in\mathcal{M}$ per ogni aperto $V\subseteq CC$.
Primo dubbio: che bisogno c'è di intersecare $f^{-1}(V)$ con $E$ se $f$ è definita proprio su $E$ (per cui $f^{-1}(V)\subseteq E$)? La cosa potrebbe acquistare senso interpretando "definita su $E$" come "definita almeno su $E$ (= su un sottoinsieme di $X$ contenente $E$)".
Dopo aver dato questa definizione, Rudin accenna alla possibilità di prolungare $f$ su $E^c$ con valore zero per ottenere una funzione misurabile nel senso della vecchia definizione (i.e. $f:X\to CC$ si dice misurabile se $f^{-1}(V)\in\mathcal{M}$ per ogni aperto $V$ di $CC$), ma non avverte il lettore dell'intenzione di far uso di una tale convenzione da quel momento in poi: assumo quindi che non venga fatta alcuna convenzione. D'altra parte, che mi rappresenta il simbolo (che compare qualche riga più in basso)
\[\int_X f\ \text{d}\mu\]
se $f$ non è definita su tutto $X$???
Risposte
Opto per la seconda interpretazione: \(\displaystyle f\) è definita almeno su \(\displaystyle E\)!
Grazie della risposta Armando! 
Quell'integrale è calcolabile su \(\displaystyle E\), oppure si calcola su \(\displaystyle X\) considerando un'estensione misurabile di \(\displaystyle f\).
Non è scritto altro?
Non è scritto altro?
"j18eos":
Non è scritto altro?
Niente che determini univocamente la risposta alla mia domanda xD
Pensandoci bene, però, non può che essere come dici tu. Cioè: se $f$ è definita $\mu$-q.o. su $X$, $\int_X f\ "d"\mu$ indica l'integrale su $X$ di un'estensione misurabile di $f$, che si può sempre ottenere definendo $f$ nulla al di fuori di $E$. Rudin aggiunge che l'estensione su $E^c$ può essere arbitraria qualora la $\mu$ sia completa.
Ma cosa te ne importa, Plepp? L'integrale non vede gli insiemi di misura nulla. Quindi la differenza tra i simboli
\[
\int_X f\, d\mu,\qquad \int_E f\, d\mu\]
non esiste. Non è importante starsi a scervellare.
\[
\int_X f\, d\mu,\qquad \int_E f\, d\mu\]
non esiste. Non è importante starsi a scervellare.
Ciao dissonance!
Certo, questo lo so. Il "problema" non era la differenza tra quei due simboli, ma il significato di $\int_X f\ "d"\mu$ quando $f$ non è definita su tutto $X$, a proposito del quale il buon Rudin poteva certamente essere più esplicito.
Certo, questo lo so. Il "problema" non era la differenza tra quei due simboli, ma il significato di $\int_X f\ "d"\mu$ quando $f$ non è definita su tutto $X$, a proposito del quale il buon Rudin poteva certamente essere più esplicito.
Ciao! Secondo me, invece di pensare a queste chiacchiere, mettiti sotto a fare esercizi. A Bari non ce ne fanno fare, passiamo tutto il tempo con la testa tra le nuvole. Dopo esserti laureato poi ti accorgi di non essere in grado di risolvere anche i problemi più semplici e di non sapere fare i conti. Sono cose molto più gravi che non sapere se bisogna intersecare \(f^{-1}(V)\) con \(E\) quando c'è da vedere se \(f\) è misurabile.
@Plepp Se vuoi una risposta più formale(?), senza cambiare le ipotesi, per semplicità sia \(\displaystyle f\) un'estensione (misurabile) ad \(\displaystyle X\); poiché \(\displaystyle\mu(E^{-1})=0\) allora:
\[
\int_Xfd\mu=\int_Efd\mu.
\]
[ot]
\[
\int_Xfd\mu=\int_Efd\mu.
\]
[ot]
"dissonance":Siete in buona compagnia... Parlo delle esperienze fatte![/ot]
Ciao! Secondo me, invece di pensare a queste chiacchiere, mettiti sotto a fare esercizi. A Bari non ce ne fanno fare, passiamo tutto il tempo con la testa tra le nuvole...
[ot]
Pm![/ot]
...eppure mi sembra di essere stato molto chiaro
Il "problema" è risolto ragazzi.
Fatta questa assunzione, credevo di essermi perso qualcosa trovandomi di fronte all'integrale di una funzione su un insieme nel quale questa non fosse ovunque definita, tutto qua
"dissonance":
Ciao! Secondo me, invece di pensare a queste chiacchiere, mettiti sotto a fare esercizi. A Bari non ce ne fanno fare, passiamo tutto il tempo con la testa tra le nuvole. Dopo esserti laureato poi ti accorgi di non essere in grado di risolvere anche i problemi più semplici e di non sapere fare i conti. Sono cose molto più gravi che non sapere se bisogna intersecare \(f^{-1}(V)\) con \(E\) quando c'è da vedere se \(f\) è misurabile.
Pm![/ot]
...eppure mi sembra di essere stato molto chiaro
Il "problema" è risolto ragazzi. "Plepp":
Dopo aver dato questa definizione, Rudin accenna alla possibilità di prolungare $f$ su $E^c$ con valore zero per ottenere una funzione misurabile nel senso della vecchia definizione (i.e. $f:X\to CC$ si dice misurabile se $f^{−1}(V)\in\in\mathcal{M}$ per ogni aperto $V$ di $CC$), ma non avverte il lettore dell'intenzione di far uso di una tale convenzione da quel momento in poi: assumo quindi che non venga fatta alcuna convenzione.
Fatta questa assunzione, credevo di essermi perso qualcosa trovandomi di fronte all'integrale di una funzione su un insieme nel quale questa non fosse ovunque definita, tutto qua
"Plepp":M'era sfuggito!
...eppure mi sembra di essere stato molto chiaro
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