Funzioni crescenti e decrescenti monotone.
Sera a tutti, ho un dubbio su questo esercizio che ho svolto. Dateci un'occhiata per favore e ditemi se è tutto corretto oppure se vi è qualche errore. Per favore e grazie in anticipo.
Testo esercizio
Siano f e g due funzioni a valori reali, definite su uno stesso intervallo reale \(\displaystyle I \) e mai nulle. La funione f sia crescente e la funzione g decrescente.
Quali delle seguenti funzioni \(\displaystyle f+g \); \(\displaystyle f-g \); \(\displaystyle f\cdot g \); \(\displaystyle \frac{f}{g} \) risultano necessariamente monotone su \(\displaystyle I \)?
(rispondere alla domanda anche sotto l'ulteriore ipotesi \(\displaystyle sgn f(x)= sgn g(x) \) per ogni \(\displaystyle x\in I \)
l'ho svolto così
primo caso \(\displaystyle f+g \)
\(\displaystyle f(x)=x^2+1 \) e \(\displaystyle g(x)=-x-1 \), la loro somma \(\displaystyle f+g=x^2-x \), ossia una funzione NON monotona
secondo caso \(\displaystyle f-g \)
questo posso riscriverlo come \(\displaystyle f+(-g) \), e se \(\displaystyle g(x) \) è decrescente, allora \(\displaystyle -g(x) \) è crescente!
quindi \(\displaystyle f-g=f+(-g) \) è una somma di 2 funzioni crescenti quindi monotona!
terzo caso \(\displaystyle f\cdot g \)
supponiamo \(\displaystyle I=(0,2) \) e \(\displaystyle f(x)=x \) e \(\displaystyle g(x)=-x^2+4 \), il loro prodotto \(\displaystyle h(x)=f\cdot g= -x^3+4x \) e questa NON è una funzione monotona..
quarto caso \(\displaystyle \frac{f}{g} \)
questo lo posso riscrivere come \(\displaystyle f\cdot \frac{1}{g} \)
\(\displaystyle g(x) \) decrescente, cioè \(\displaystyle ag(b) \), proviamo che \(\displaystyle \frac{1}{g} \) è crescente!
se \(\displaystyle g(x)>0 \) allora \(\displaystyle g(a)>g(b)\rightarrow \frac{1}{g(a)}>\frac{1}{g(b)} \).. OK funzione crescente!
se \(\displaystyle g(x)<0 \) allora \(\displaystyle g(a)>g(b)\rightarrow \frac{1}{g(b)}>\frac{1}{g(a)}\).. OK funzione crescente!
ALLORA concludo dicendo che \(\displaystyle \frac{f}{g}=f\cdot \frac{1}{g} \) è CRESCENTE!
DITEMI per favore se tutto questo è corretto. Se lo fosse scrivete "è corretto", mentre se ci dovesse essere qualche errore..scrivete pure!
GRAZIE IN ANTICIPO!
Testo esercizio
Siano f e g due funzioni a valori reali, definite su uno stesso intervallo reale \(\displaystyle I \) e mai nulle. La funione f sia crescente e la funzione g decrescente.
Quali delle seguenti funzioni \(\displaystyle f+g \); \(\displaystyle f-g \); \(\displaystyle f\cdot g \); \(\displaystyle \frac{f}{g} \) risultano necessariamente monotone su \(\displaystyle I \)?
(rispondere alla domanda anche sotto l'ulteriore ipotesi \(\displaystyle sgn f(x)= sgn g(x) \) per ogni \(\displaystyle x\in I \)
l'ho svolto così
primo caso \(\displaystyle f+g \)
\(\displaystyle f(x)=x^2+1 \) e \(\displaystyle g(x)=-x-1 \), la loro somma \(\displaystyle f+g=x^2-x \), ossia una funzione NON monotona
secondo caso \(\displaystyle f-g \)
questo posso riscriverlo come \(\displaystyle f+(-g) \), e se \(\displaystyle g(x) \) è decrescente, allora \(\displaystyle -g(x) \) è crescente!
quindi \(\displaystyle f-g=f+(-g) \) è una somma di 2 funzioni crescenti quindi monotona!
terzo caso \(\displaystyle f\cdot g \)
supponiamo \(\displaystyle I=(0,2) \) e \(\displaystyle f(x)=x \) e \(\displaystyle g(x)=-x^2+4 \), il loro prodotto \(\displaystyle h(x)=f\cdot g= -x^3+4x \) e questa NON è una funzione monotona..
quarto caso \(\displaystyle \frac{f}{g} \)
questo lo posso riscrivere come \(\displaystyle f\cdot \frac{1}{g} \)
\(\displaystyle g(x) \) decrescente, cioè \(\displaystyle a
se \(\displaystyle g(x)>0 \) allora \(\displaystyle g(a)>g(b)\rightarrow \frac{1}{g(a)}>\frac{1}{g(b)} \).. OK funzione crescente!
se \(\displaystyle g(x)<0 \) allora \(\displaystyle g(a)>g(b)\rightarrow \frac{1}{g(b)}>\frac{1}{g(a)}\).. OK funzione crescente!
ALLORA concludo dicendo che \(\displaystyle \frac{f}{g}=f\cdot \frac{1}{g} \) è CRESCENTE!
DITEMI per favore se tutto questo è corretto. Se lo fosse scrivete "è corretto", mentre se ci dovesse essere qualche errore..scrivete pure!
GRAZIE IN ANTICIPO!
Risposte
Hey ragazza !
$f(x)=x^2+1$ è una funzione sempre crescente ?!!
Il ragionamento che hai fatto dopo è giusto, però o specifichi l'intervallo o cambi funzione.
$f(x)=x^2+1$ è una funzione sempre crescente ?!!
Il ragionamento che hai fatto dopo è giusto, però o specifichi l'intervallo o cambi funzione.
"Quinzio":
Hey ragazza !
$f(x)=x^2+1$ è una funzione sempre crescente ?!!
Il ragionamento che hai fatto dopo è giusto, però o specifichi l'intervallo o cambi funzione.
ah ecco c'era qualcosa che non mi tornava!
Cmq ok può andare dici di quella funzione, cioè \(\displaystyle f(x)=x^2+1 \) in \(\displaystyle I=(0,2) \).. va bn?
grazie cmq
Allora il primo secondo e terzo ok.
Il quarto no.
Se derivi l'espressione $f/g$ hai $(f'g-fg')/(g^2)$, che ha uno zero in $(f'/f) = (g'/g)$, cioè la derivata può cambiare segno, perchè passa per lo zero, e quindi non hai per certo la monotonia.
Il quarto no.
Se derivi l'espressione $f/g$ hai $(f'g-fg')/(g^2)$, che ha uno zero in $(f'/f) = (g'/g)$, cioè la derivata può cambiare segno, perchè passa per lo zero, e quindi non hai per certo la monotonia.
nel quarto caso
infatti ho messo \(\displaystyle g(x)>0 \) con lo zero escluso, NON ho scritto \(\displaystyle g(x)\geq 0 \), se avessi scritto quest'ultimo caso cioè con lo zero incluso allora hai ragione.. ma io lo zero l'ho lasciato fuori..
infatti ho messo \(\displaystyle g(x)>0 \) con lo zero escluso, NON ho scritto \(\displaystyle g(x)\geq 0 \), se avessi scritto quest'ultimo caso cioè con lo zero incluso allora hai ragione.. ma io lo zero l'ho lasciato fuori..
Non ci siamo...
prova con $f(x)=e^x-1, g(x)=e^(-x)$
prova con $f(x)=e^x-1, g(x)=e^(-x)$
"Quinzio":
Non ci siamo...
prova con $f(x)=e^x-1, g(x)=e^(-x)$
non capisco cosa vuoi dirmi.. cioè il rapporto della funzione \(\displaystyle f(x)=e^x-1 \) e \(\displaystyle g(x)=e^{-x} \)
è \(\displaystyle \frac{f}{g}=e^x(e^x-1) \) .. che è quanto avevo dimostrato prima..
Io ho dimostrato prima praticamente che una funzione \(\displaystyle g(x) \) decrescente, che è come da definizione \(\displaystyle a
Cioè non riesco a capire dv ho sbagliato...
A te chiedono se $f/g$ è necessariamente monotona, con $f$ crescente, $g$ descrescente.
Devi dire si o no.
A me sembra che la risposta sia no, basta disegnare la funzione che ti ho dato.
Poi il reciproco di una funzione crescente non è (sempre) una funzione decrescente.
No ?
Devi dire si o no.
A me sembra che la risposta sia no, basta disegnare la funzione che ti ho dato.
Poi il reciproco di una funzione crescente non è (sempre) una funzione decrescente.
No ?
un controesempio più semplice può essere \(\displaystyle I=(0,2) \) e \(\displaystyle f(x)=x \) e \(\displaystyle g(x)=\frac{1}{x^2-4} \)
il loro rapporto \(\displaystyle h(x)=\frac{f}{g}=x^3-4x \), e la derivata prima è \(\displaystyle h'(x)=3x^2-4 \) e si annulla in \(\displaystyle x=\sqrt{\frac{4}{3}} \) che è contenuto nell'intervallo
se faccio la derivata seconda \(\displaystyle h''(x)=6x \) ...vale a dire che \(\displaystyle \sqrt{\frac{4}{3}} \) p.to di minimo
la funzione, non può essere monotona!
il loro rapporto \(\displaystyle h(x)=\frac{f}{g}=x^3-4x \), e la derivata prima è \(\displaystyle h'(x)=3x^2-4 \) e si annulla in \(\displaystyle x=\sqrt{\frac{4}{3}} \) che è contenuto nell'intervallo
se faccio la derivata seconda \(\displaystyle h''(x)=6x \) ...vale a dire che \(\displaystyle \sqrt{\frac{4}{3}} \) p.to di minimo
la funzione, non può essere monotona!
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