Funzioni crescenti !!!
Ciao amici,
ripropongo lo stesso problema, dove ho trovato degli intoppi
Il problema in questione era sulla dimostrazione di una proposizione che riguarda le funzioni crescenti, di cui riporto la proposizione:
Proposizione
Una funzione \(\displaystyle f:\mathbb{N} \to \mathbb{R} \) è crescente se e solo se
\(\displaystyle \forall n, \) \(\displaystyle f(n)
Dimostrazione
Si divide in due parti:
1)
Ipotesi
Se \(\displaystyle f \) crescente
Tesi
allora \(\displaystyle \forall n, \) \(\displaystyle f(n)
Ovviamente se \(\displaystyle f \) è crescente, allora da \(\displaystyle n
2)
Ipotesi
Se \(\displaystyle \forall n \), \(\displaystyle f(n)
Tesi
allora \(\displaystyle \forall n,m \in \mathbb{N} [n
Supponiamo che la funzione non sia crescente, allora
\(\displaystyle \exists a,b : [ a
questo implica che l'insieme \(\displaystyle A= k\in \mathbb{N} : k>a, f(a) \ge f(k) \) non vuoto, pertanto ha un elemento minimo, tale che sia \(\displaystyle k_0=minA \).
Ne segue che : \(\displaystyle k_0>a \) e \(\displaystyle f(a)\ge f(k_0) \). Fin qui tutto bene.
Osserviamo che non può essere \(\displaystyle k_0=a+1 \), perché per l'ipotesi è \(\displaystyle f(a)a \),inoltre \(\displaystyle f(k_0)=f(h+1)>f(h) \) \), quindi per la proprietà transitiva \(\displaystyle f(a)\ge f(k) \).
Ma allora \(\displaystyle h\in A \), assurdo perché \(\displaystyle h=k_0-1
Fine.
Il mio problema era " ora non so, se più
" sulla seconda parte, comunque penso che la dimostrazione dovrebbe essere interpretata cosi:
L'autore suppone che la funzione \(\displaystyle f \) sia decrescente in un tratto del dominio precisamente nel sottoinsieme \(\displaystyle A \), e ci fa vedere che è dotato di minimo \(\displaystyle k_0 \), prende un elemento \(\displaystyle h=k_0-1 \) , quindi per tale valore la funzione risulta crescente. Ora per la transitività si ha \(\displaystyle f(a)\ge f(k) \), ma l'elemento \(\displaystyle h \) rispecchia tutte le proprietà per appartenere ad \(\displaystyle A \), quindi assurdo.
Da questo si perviene che non esiste nessuno elemento per cui si potrebbe verificare la decrescenza.
Grazie per le risposte.
ripropongo lo stesso problema, dove ho trovato degli intoppi
Il problema in questione era sulla dimostrazione di una proposizione che riguarda le funzioni crescenti, di cui riporto la proposizione:
Proposizione
Una funzione \(\displaystyle f:\mathbb{N} \to \mathbb{R} \) è crescente se e solo se
\(\displaystyle \forall n, \) \(\displaystyle f(n)
Dimostrazione
Si divide in due parti:
1)
Ipotesi
Se \(\displaystyle f \) crescente
Tesi
allora \(\displaystyle \forall n, \) \(\displaystyle f(n)
Ovviamente se \(\displaystyle f \) è crescente, allora da \(\displaystyle n
2)
Ipotesi
Se \(\displaystyle \forall n \), \(\displaystyle f(n)
Tesi
allora \(\displaystyle \forall n,m \in \mathbb{N} [n
Supponiamo che la funzione non sia crescente, allora
\(\displaystyle \exists a,b : [ a
questo implica che l'insieme \(\displaystyle A= k\in \mathbb{N} : k>a, f(a) \ge f(k) \) non vuoto, pertanto ha un elemento minimo, tale che sia \(\displaystyle k_0=minA \).
Ne segue che : \(\displaystyle k_0>a \) e \(\displaystyle f(a)\ge f(k_0) \). Fin qui tutto bene.
Osserviamo che non può essere \(\displaystyle k_0=a+1 \), perché per l'ipotesi è \(\displaystyle f(a)
Ma allora \(\displaystyle h\in A \), assurdo perché \(\displaystyle h=k_0-1
Fine.
Il mio problema era " ora non so, se più
" sulla seconda parte, comunque penso che la dimostrazione dovrebbe essere interpretata cosi:L'autore suppone che la funzione \(\displaystyle f \) sia decrescente in un tratto del dominio precisamente nel sottoinsieme \(\displaystyle A \), e ci fa vedere che è dotato di minimo \(\displaystyle k_0 \), prende un elemento \(\displaystyle h=k_0-1 \) , quindi per tale valore la funzione risulta crescente. Ora per la transitività si ha \(\displaystyle f(a)\ge f(k) \), ma l'elemento \(\displaystyle h \) rispecchia tutte le proprietà per appartenere ad \(\displaystyle A \), quindi assurdo.
Da questo si perviene che non esiste nessuno elemento per cui si potrebbe verificare la decrescenza.
Grazie per le risposte.
Risposte
Se $f(n) < f(n+1)$ ed $n < m$, allora puoi scrivere $m-n = k > 0$. Ora hai finito: perché?
Se \(\displaystyle f(n)
\(\displaystyle f(n+h)>f(n) \) questo è vero perché
\(\displaystyle f(n+h)>f(n+k-1)>...>f(n+1)>f(n) \).
Penso che è questo, quello che mi stai chiedendo
\(\displaystyle f(n+h)>f(n) \) questo è vero perché
\(\displaystyle f(n+h)>f(n+k-1)>...>f(n+1)>f(n) \).
Penso che è questo, quello che mi stai chiedendo
Ma tutto questo è stato già detto nell'altro post
Certo, ma il mio dubbio è sull'interpretazione della dimostrazione che ho sul mio libro.
Buonasera
Dissonance, killing_buddha,
l'ho interpretata bene ?
Dissonance, killing_buddha,
l'ho interpretata bene ?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo