Funzioni convesse [Sissa '13]

[Nulier]

Ho provato a svolgere alcuni quesiti tratti dalle prove di accesso degli anni passati per accedere alla magistrale in matematica della SISSA di Trieste.
In particolare, stavo affrontando il problema 2 del 2013, a prima vista piuttosto innocuo. (http://www.math.sissa.it/sites/default/ ... /LM-13.pdf)
La prima parte si risolve facilmente:

Sia $f$ convessa. Allora $g'(x)=-xf''(x)$ da cui $g$ non crescente visto che $x\geq 0$.
Sia ora $g$ non crescente. Allora $0\geq g'(x)=-xf''(x)$. Dato che $x>0$ segue la tesi.

Mi trovo però a corto di idee per la seconda parte del quesito e cerco lumi dagli altri partecipanti del forum.

[Rigel1]

Fissa \(x_0 > 0\). Hai che \( f(x) = f(x_0) + \int_{x_0}^x f'(t) dt\). Se \(x > x_0\), poiché \(f'\) è crescente ottieni
\[
g(x) = f(x_0) + \int_{x_0}^x f'(t) dt - x f'(x) \leq f(x_0) + f'(x) (x-x_0) - x f'(x)
= f(x_0) - x_0 f'(x).
\]
Adesso la conclusione è immediata.

[Frink1]

Ti rispondo con questo, l'avevo provato anche io qualche mesetto fa.

Ciao!

[Nulier]

Era effettivamente piuttosto facile. Mi scuso per il disturbo e vi ringrazio per l'aiuto!

P.S. Non sono l'unico che si prepara al test quindi