Funzioni continue/uniformemente continue
Salve a tutti!
Ragazzi ho un pò di dubbi sulla differenza tra funzioni continue e uniformemente continue.
Ho capito che comunque la differenza sta nel delta,ma graficamente qual è la differenza?
Grazie!
Ragazzi ho un pò di dubbi sulla differenza tra funzioni continue e uniformemente continue.
Ho capito che comunque la differenza sta nel delta,ma graficamente qual è la differenza?
Grazie!
Risposte
scusa seneca ma non capisco nel grafico come vengono scelti $\epsilon$ e $\delta$!! cioè so che sono arbitrari ma non riesco a capire nel grafico come si comortano!! saresti così gentile da spiegarmi perfavore??
$\epsilon$ è arbitrario, non $\delta$. Il $\delta$ dipenderà da $\epsilon$ e da $x_0$ nella continuità, solo da $\epsilon$ nell'uniforme continuità.
si antimius questo l'ho capito ma non capisco il perchè di ciò sul grafico!!
"paolotesla91":
si antimius questo l'ho capito ma non capisco il perchè di ciò sul grafico!!
Spiegati meglio.
allora partiamo dalla definizione di continuità: una funzione è continua in un punto $x_0$ se esiste:
$lim_(x -> x_0) f(x)=f(x_0)$ cioè:
$AA \epsilon>0, EE \delta>0 : 0!=|x-x_0|<\delta, |f(x)-f(x_0)|<\epsilon$ il significato di tale espressione è intuitivamente logico, cioè per essere continua in un punto la funzione deve assumere il valore calcolato in tale punto e su questo ci siamo!!
Sul grafico però non riesco a cosiderarla!! cioè scelgo $x_0$ e il suo intorno del tipo $(x_0-\delta,x_0+\delta)$ ma non riesco a capire perchè la continuità della funzione sia subordinata alla scelta del punto e di $\epsilon$!! credo ke una volta capito questo riesca a capire anche l'altra!!
$lim_(x -> x_0) f(x)=f(x_0)$ cioè:
$AA \epsilon>0, EE \delta>0 : 0!=|x-x_0|<\delta, |f(x)-f(x_0)|<\epsilon$ il significato di tale espressione è intuitivamente logico, cioè per essere continua in un punto la funzione deve assumere il valore calcolato in tale punto e su questo ci siamo!!
Sul grafico però non riesco a cosiderarla!! cioè scelgo $x_0$ e il suo intorno del tipo $(x_0-\delta,x_0+\delta)$ ma non riesco a capire perchè la continuità della funzione sia subordinata alla scelta del punto e di $\epsilon$!! credo ke una volta capito questo riesca a capire anche l'altra!!
Tralasciando il fatto che la definizione di continuità che hai dato è sbagliata, l'uniforme continuità ti dice che, fissato $epsilon$ positivo, puoi esibire UN $delta$ che non è locale (come invece è il $delta$ della def. di continuità).
si ho inquadrato l'errore ma comunque non capisco ancora!! prova a farmi un conotroesempio così forse capisco meglio!! perfavore!
ad esempio se una funzione ha una discontinuità di prima specie vuol dire che c'è un salto.. in simboli significa che le immagini dei punti vicini ad $x_0$ non hanno immagini vicine a $f(x_0)$ ma questo si verifica a causa di $\epsilon$ oppure $x_0$??
ad esempio se una funzione ha una discontinuità di prima specie vuol dire che c'è un salto.. in simboli significa che le immagini dei punti vicini ad $x_0$ non hanno immagini vicine a $f(x_0)$ ma questo si verifica a causa di $\epsilon$ oppure $x_0$??
eih?? c'è nessuno??
"Seneca":
Tralasciando il fatto che la definizione di continuità che hai dato è sbagliata, l'uniforme continuità ti dice che, fissato $epsilon$ positivo, puoi esibire UN $delta$ che non è locale (come invece è il $delta$ della def. di continuità).
La definizione non è quella perchè tralasci il punto $x_o$, quella che hai dato riguarda i punti di accumulazione ed è una condizione sufficiente, ma non è esaustiva, perchè in un punto isolato ogni funzione è continua, quindi devi includere nel calcolo $x_o$ che nel limite invece non è considerato(per definizione).
ok regim allora prendiamo in esame l'esempio ke ho fatto!! qual'è la risposta? ho capito la definizione che ha dato seneca nel link solo che questa definizione non implica che il punto debba essere di accumulazione?
L'esempio che hai proposto non può riguardare le funzioni uniformemente continue, perchè esse sono a maggior ragione continue.
Comunque in questo forum tempo addietro, qualcuno ha realizzato un disegno dinamico che spiega l'uniforme continuità dal punto di vista intuitivo, la definzione è "semplice" ed è inutile che te la riscrivo, la puoi trovare ovunque.
Comunque in questo forum tempo addietro, qualcuno ha realizzato un disegno dinamico che spiega l'uniforme continuità dal punto di vista intuitivo, la definzione è "semplice" ed è inutile che te la riscrivo, la puoi trovare ovunque.
no regim io mi riferivo alla continuità!! non all'unif. continuità!! voglio anlizzare le cose una alla volta!! comunque a chi posso chiedere di questo grafico che hai mensionato?
Devi fare una ricerca, metti uniforme continuità su cerca e poi dovrebbe saltar fuori qualcosa.
Sono concetti legati, è un po' un casino.
In ogni caso i teoremi che ti servono sono questi:
- Ogni funzione uniformemente continua è continua (con i discorsi sul $delta$ che sai)
- Non è detto che una funzione continua sia uniformemente continua (riesci a darmi un controesempio?)
- Ogni funzione continua su un compatto è uniformemente continua (in particolare questo ti dà un suggerimento per il controesempio di cui sopra)
Un altra cosa, che può servirti a scartare immediatamente alcune funzioni, che sono sì continue, ma non uniformemente:
per le funzioni uniformemente continue vale il teorema della farfalla, se ne parlava qui, http://www.matematicamente.it/forum/dimostrare-uniforme-continuita-t37774.html.
In ogni caso i teoremi che ti servono sono questi:
- Ogni funzione uniformemente continua è continua (con i discorsi sul $delta$ che sai)
- Non è detto che una funzione continua sia uniformemente continua (riesci a darmi un controesempio?)
- Ogni funzione continua su un compatto è uniformemente continua (in particolare questo ti dà un suggerimento per il controesempio di cui sopra)
Un altra cosa, che può servirti a scartare immediatamente alcune funzioni, che sono sì continue, ma non uniformemente:
per le funzioni uniformemente continue vale il teorema della farfalla, se ne parlava qui, http://www.matematicamente.it/forum/dimostrare-uniforme-continuita-t37774.html.
si gaal grazie credo ke il primo teorema lo conosca già... in sostanza è la controimplicazione del teorema di Cantor!! gli altri due no comunque me li studierò e posterò di nuovo grazie!! grazie anke a te regim 
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