Funzioni continue/limitate
salve ragazzi avrei questi quesiti:
a)se $f: RR \to RR$ è limitata allora esistono finiti $lim_(x->+infty) f(x) $ e $lim_(x->-infty) f(x) $;
b)se $f: (3,4) \to RR $ è non limitata allora ha un punto di discontinuità;
c)se $f: [5,7] \to RR$ è continua è limitata;
d) se $f: [2,+infty) \to RR $ è continua ed ha un asintoto orizzontale,allora è limitata.
allora per quanto riguarda il primo punto mi sembra vera perchè se è limitata vuol dire che la funzione presenta asintoti orizzontali a cui tende all'infinito,no?
il secondo punto è falsa no? se fosse così,però non saprei come motivare la risposta; ho provato solo a disegnare una funzione avente come dominio $(3,4)$ e portarla all'infinito e non mi sembra che debba avere necessariamente punti discontinuità;
il terzo punto è vero no? è una conseguenza del teorema di weierstrass per funzioni continue?
la quarta è vera, perchè ,se a funzione a più infinito tende a un numero, non può essere illimitata no?
le motivazioni sono un po' "profane" ,vi sarei grato se mi aiutaste a motivare meglio queste rsposte,grazie
a)se $f: RR \to RR$ è limitata allora esistono finiti $lim_(x->+infty) f(x) $ e $lim_(x->-infty) f(x) $;
b)se $f: (3,4) \to RR $ è non limitata allora ha un punto di discontinuità;
c)se $f: [5,7] \to RR$ è continua è limitata;
d) se $f: [2,+infty) \to RR $ è continua ed ha un asintoto orizzontale,allora è limitata.
allora per quanto riguarda il primo punto mi sembra vera perchè se è limitata vuol dire che la funzione presenta asintoti orizzontali a cui tende all'infinito,no?
il secondo punto è falsa no? se fosse così,però non saprei come motivare la risposta; ho provato solo a disegnare una funzione avente come dominio $(3,4)$ e portarla all'infinito e non mi sembra che debba avere necessariamente punti discontinuità;
il terzo punto è vero no? è una conseguenza del teorema di weierstrass per funzioni continue?
la quarta è vera, perchè ,se a funzione a più infinito tende a un numero, non può essere illimitata no?
le motivazioni sono un po' "profane" ,vi sarei grato se mi aiutaste a motivare meglio queste rsposte,grazie
Risposte
"speciale":
b)se $f: (3,4) \to RR $ è non limitata allora ha un punto di discontinuità;
Però $f$ non è mica continua nell'intervallo $(3,4)$ e l'ipotesi che non sia limitata secondo me non esclude necessariamente che abbia un punto di discontinuità.. Questo però è solo un mio parere
La prima è falsa.
a) è falsa, basta considerare $[f(x)=cosx]$.
b) è falsa, basta considerare $[f(x)=1/(x^2-7x+12)]$.
c) è vera.
d) è vera, anche se dimostrarlo è una seccatura.
b) è falsa, basta considerare $[f(x)=1/(x^2-7x+12)]$.
c) è vera.
d) è vera, anche se dimostrarlo è una seccatura.
"speculor":
a) è falsa, basta considerare $[f(x)=cosx]$.
b) è falsa, basta considerare $[f(x)=1/(x^2-7x+12)]$.
c) è vera.
d) è vera, anche se dimostrarlo è una seccatura.
[sarcasm]
Caspita, le sai proprio tutte!
[/sarcasm]
Mai sentito dire che la politica di questo forum è di non consegnare la pappa pronta?
@Raptorista
Mi sono fatto prendere la mano. In ogni modo, ho fatto solo due controesempi. Voglio dire, il richiedente dovrà comunque rifletterci.
Mi sono fatto prendere la mano. In ogni modo, ho fatto solo due controesempi. Voglio dire, il richiedente dovrà comunque rifletterci.
"speculor":
@Raptorista
Mi sono fatto prendere la mano. In ogni modo, ho fatto solo due controesempi. Voglio dire, il richiedente dovrà comunque rifletterci.
Vero, ma la ricerca del controesempio è ciò che ti spinge a ragionare; una volta che il controesempio ce l'hai, il gioco è fatto.
Anyway, nessun problema,
buona serata, speculor
@Raptorista
Tra l'altro, all'inizio non avevo visto il tuo intervento. Invece di cancellare il mio, avevo risposto solo ai primi due punti, ho completato anche gli altri due. In buona fede, ti assicuro. Buona serata anche a te.
Tra l'altro, all'inizio non avevo visto il tuo intervento. Invece di cancellare il mio, avevo risposto solo ai primi due punti, ho completato anche gli altri due. In buona fede, ti assicuro. Buona serata anche a te.
"speculor":
@Raptorista
Tra l'altro, all'inizio non avevo visto il tuo intervento. Invece di cancellare il mio, avevo risposto solo ai primi due punti, ho completato anche gli altri due. In buona fede, ti assicuro. Buona serata anche a te.
Allora è colpa mia! Buahahahahahahahahah
Adesso mi sgrido!
Ciao!
Scusate ma la b) non è falsa se e solo se ci metto anche l'ipotesi della continuità nell'intervallo $(3,4)$?
"Raptorista":
La prima è falsa.
la prima la posso considerare falsa solo tramite un controesempio,come quello fatto da speculor?
ragazzi,vi ringrazio per gli interventi,ma potreste spiegarmi le motivazioni delle risposte, o comunque dire se le mie sono giuste o sbagliate? ovviamente a parte il primo punto ; ad esempio il terzo è conseguenza di weierstrass? e il quarto come potrei spiegarlo in maniera più appropriata?
"speciale":
...il terzo è conseguenza di weierstrass?
Certamente.
"speciale":
...e il quarto come potrei spiegarlo in maniera più appropriata?
Applicando la definizione di limite:
$[lim_(x->+oo)f(x)=l] rarr [AA epsilon > 0 EE x_epsilon >2 : x>x_epsilon => l-epsilon
Quindi:
$[x>x_epsilon] => [l-epsilon
$[2<=x<=x_epsilon] => [m<=f(x)<=M]$
In definitiva:
$[x>=2] => [min(l-epsilon,m)<=f(x)<=max(l+epsilon,M)]$
In ogni modo, le argomentazioni dipendono anche dal contesto. Se si tratta di quiz da risolvere in un tempo molto limitato, un controesempio è più che sufficiente. Viceversa, è necessario utilizzare un linguaggio formale e, in questo caso, può diventare impegnativo dimostrare la falsità delle affermazioni proposte. Quindi, le affermazioni "palesemente false" possono essere evase con un controesempio, quelle "palesemente vere" con una dimostrazione rigorosa.
"Obidream":
Scusate ma la b) non è falsa se e solo se ci metto anche l'ipotesi della continuità nell'intervallo $(3,4)$?
Se per negare un'affermazione ricorri ad un controesempio che, oltre alle ipotesi specificate nell'affermazione stessa, ne usa anche altre in più, il controesempio rimane valido.
La b è falsa, ed esistono anche controesempi con funzioni non continue.
"Raptorista":
[quote="Obidream"]Scusate ma la b) non è falsa se e solo se ci metto anche l'ipotesi della continuità nell'intervallo $(3,4)$?
Se per negare un'affermazione ricorri ad un controesempio che, oltre alle ipotesi specificate nell'affermazione stessa, ne usa anche altre in più, il controesempio rimane valido.
La b è falsa, ed esistono anche controesempi con funzioni non continue.[/quote]
Grazie
Ciao Raptorista.
...e che controesempio vuoi fare con una funzione non continua? Non mi sembra possibile*...Mi sfugge qualcosa forse?
EDIT: *nel senso che non avrebbe senso (scusa la ripetizione
) partire dal presupposto che $f$ ha una qualche discontinuità in $I=(3,4)$. Al massimo, per semplificarsi la vita, si può ragionare così:
\[ \left[f\ \text{non limitata} \implies f\ \text{non continua in}\ I\right] \iff [f\ \text{continua in}\ I\implies f\ \text{limitata}]\]
e smentire quest'ultima affermazione, prendendo, per esempio, $f(x)=1/(x-3)$.
"Raptorista":
La b è falsa, ed esistono anche controesempi con funzioni non continue.
...e che controesempio vuoi fare con una funzione non continua? Non mi sembra possibile*...Mi sfugge qualcosa forse?
EDIT: *nel senso che non avrebbe senso (scusa la ripetizione
) partire dal presupposto che $f$ ha una qualche discontinuità in $I=(3,4)$. Al massimo, per semplificarsi la vita, si può ragionare così:\[ \left[f\ \text{non limitata} \implies f\ \text{non continua in}\ I\right] \iff [f\ \text{continua in}\ I\implies f\ \text{limitata}]\]
e smentire quest'ultima affermazione, prendendo, per esempio, $f(x)=1/(x-3)$.
Scusate, my fault!
Ho fatto un mix della a) e della b) e quindi sono partito per la tangente XD
Ora che l'ho riletta, concordo con quanto dice plepp e col suo controesempio.
Ho fatto un mix della a) e della b) e quindi sono partito per la tangente XD
Ora che l'ho riletta, concordo con quanto dice plepp e col suo controesempio.
"Raptorista":
Ho fatto un mix della a) e della b)
Ah ecco
ora mi spiego tutto
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