Funzioni continue (successioni di funzioni)

[petrelli92]

Buon giorno , ho una successione di funzioni definita cosi $ fn(x)=x^n $ con $ x appartentente [0,1]$,ho visto che la successione di funzioni converge puntualmente a $ [0,1] $ alla funzione $f(x)=0$ se $0<=x<1$ e $ f(x)=1 $se $x=1 $ , mentre la convergenza uniforme non c'è in tale insieme perchè la funzione $ f(x)$ non è continua ....vorrei sapere una cosa , ma non è continua perchè assume valori diversi nelll'insieme [0,1] ?? Grazie in anticipo

[21zuclo]

sia $ x\in RR, f_n(x)=x^n $

si ha $ \lim_(n\to +\infty) f_n(x)={ ( 0 if |x|<1 ),( 1 if x=1 ),( +\infty if x>1 ):} $

la successione data converge puntualmente sull'intervallo $I=(-1,1]$ alla funzione limite $ f(x)={ ( 0 if |x|<1 ),( 1 if x=1 ):} $

La convergenza non è però uniforme su tale intervallo.. infatti non converge uniformemente su $(-1,1)$

poiché $ \text{sup}_(x\in (-1,1))|f_n(x)-f(x)|=1 $

abbiamo la convergenza uniforme sugli intervalli $J=[-\lambda,\lambda]$ con $\lambda \in (0,1)$

(la verifica è lasciata a te per esercizio)

spero di essere stato chiaro..se hai domande chiedi pure