Funzioni continue su intervalli chiusi e limitati
Ultimamente faccio tutto troppo complicato. Dovrei dimostrare il seguente:
Se $U$ e $V$ sono due intervalli chiusi e limitati ed $f: U -> RR$ è continua, allora $V \subset f(U)$ implica l'esistenza di un intervallo limitato (e chiuso) $U_0\subset U$ per cui $f(U_0)=V$.
A dire il vero una dimostrazione (o forse due) di questo "Lemmino" la ho già, ma mi sembra un po' troppo complicata (quella in forse è mostruosamente troppo complicata, per cui non l'ho nemmeno controllata fino in fondo...
) e sono abbastanza convinto che si possa farne una dimostrazione più elementare...
Se qualcuno ha qualche idea... altrimenti se qualcuno lo desidera dopo posto la mia, ma non vorrei traviarvi a fare la cosa più difficile di quello che è, come ho fatto io...
Se $U$ e $V$ sono due intervalli chiusi e limitati ed $f: U -> RR$ è continua, allora $V \subset f(U)$ implica l'esistenza di un intervallo limitato (e chiuso) $U_0\subset U$ per cui $f(U_0)=V$.
A dire il vero una dimostrazione (o forse due) di questo "Lemmino" la ho già, ma mi sembra un po' troppo complicata (quella in forse è mostruosamente troppo complicata, per cui non l'ho nemmeno controllata fino in fondo...
) e sono abbastanza convinto che si possa farne una dimostrazione più elementare...Se qualcuno ha qualche idea... altrimenti se qualcuno lo desidera dopo posto la mia, ma non vorrei traviarvi a fare la cosa più difficile di quello che è, come ho fatto io...
Risposte
Basta citare un noto teorema: l'antimmagine di un chiuso (aperto) attraverso funzioni continue è un chiuso (aperto)...
"Dorian":
Basta citare un noto teorema: l'antimmagine di un chiuso (aperto) attraverso funzioni continue è un chiuso (aperto)...
Si ma non è detto che la controimmagine di un intervallo sia un intervallo...
Ciao!
Io direi così. (indico con $[*;*]$ gli intervalli chiusi, con $(*;*)$ quelli aperti).
Sappiamo che una funzione continua manda connessi in connessi. In particolare se $f:U \to RR$ è continua (dove U è un intervallo chiuso e limitato), l'immagine tramite f di un intervallo è un intervallo (in $RR$ i connessi sono gli intervalli). In particolare se $x,y \in U$ e $x
Ora sia $V=[a;b] \subseteq f(U)$ con $as$). Consideriamo le fibre $f^{-1}(\{a\})$ e $f^{-1}(\{b\})$ (cioè l'insieme dei punti di U che hanno a - risp. b - come immagine). Essi sono chiusi perché f è continua e in $RR$ i punti sono chiusi.
$f^{-1}(\{b\}) \cap [r;s]$ è chiuso limitato e non vuoto (contiene s). Sia y il suo minimo.
$f^{-1}(\{a\}) \cap [r;y]$ è chiuso limitato e non vuoto (contiene r). Sia x il suo massimo.
Mi propongo di mostrare che $f([x;y])=V$. Intanto $f(x)=a$, $f(y)=b$ e $x
Se non è il caso, allora $f([x;y])$ non è contenuto in $[a;b]$, quindi esiste $k \in [x;y]$ tale che $f(k)$ non appartiene ad $[a;b]$. In particolare $x
1) $f(k)
2) $a
Quadratino
Spero sia chiaro (e soprattutto, giusto )
Ciao.
Io direi così. (indico con $[*;*]$ gli intervalli chiusi, con $(*;*)$ quelli aperti).
Sappiamo che una funzione continua manda connessi in connessi. In particolare se $f:U \to RR$ è continua (dove U è un intervallo chiuso e limitato), l'immagine tramite f di un intervallo è un intervallo (in $RR$ i connessi sono gli intervalli). In particolare se $x,y \in U$ e $x
Ora sia $V=[a;b] \subseteq f(U)$ con $a
$f^{-1}(\{b\}) \cap [r;s]$ è chiuso limitato e non vuoto (contiene s). Sia y il suo minimo.
$f^{-1}(\{a\}) \cap [r;y]$ è chiuso limitato e non vuoto (contiene r). Sia x il suo massimo.
Mi propongo di mostrare che $f([x;y])=V$. Intanto $f(x)=a$, $f(y)=b$ e $x
Se non è il caso, allora $f([x;y])$ non è contenuto in $[a;b]$, quindi esiste $k \in [x;y]$ tale che $f(k)$ non appartiene ad $[a;b]$. In particolare $x
1) $f(k)
2) $a
Quadratino
Spero sia chiaro (e soprattutto, giusto
)Ciao.
Si mi sembra proprio che sia giusto e in effetti è più semplice della mia.
La mia in realtà è abbastanza simile. Direi che è una variante più complicata della tua. Ho preso $A=f^{-1}(a)$ e $B=f^{-1}(b)$. Quindi prendo:
$ d = \text{inf} \{ |x-y| : x \in A, y \in B \} $
poi ho preso una successione minimizzante(*) (che potrebbe anche essere definitivamente costante) $(x_n,y_n)$ sempre con $x_n \in A$ e $y_n \in B$. Sfruttando la compattezza di $A$ e di $B$ ho preso delle sottosuccessioni convergenti e alla fine mi ritrovo con un $\hat{x}$ e un $\hat{y}$ con cui costruisco un intervallo. Ovviamente non so se $\hat{x}$ sia maggiore o minore di $\hat{y}$, ma quello che conta è che l'intervallo non può avere come punti interni altri punti appartenenti o ad $A$ o ad $B$, per cui poi chiudo con lo stesso argomento per assurdo che hai fatto tu.
Altrimenti avevo pensato anche a un giro complicato definendo una relazione d'ordine parziale sugli intervalli i cui estremi sono l'uno un punto in $A$ e l'altro un punto in $B$, poi facendo un giro assurdo col lemma di Zorn trovavo un intervallo massimale (rispetto all'ordine, ma di lunghezza minima irrealtà) con le proprietà giuste... ma ovviamente è una cosa esagerata (e chiama in ballo l'assioma della scelta) per cui non ci ho nemmeno perso sopra troppo tempo... (potrebbe anche essere tutto campato in aria...).
------------------------------------------
(*) Nel senso che:
$ |x_n - y_n|\rightarrow d $
La mia in realtà è abbastanza simile. Direi che è una variante più complicata della tua. Ho preso $A=f^{-1}(a)$ e $B=f^{-1}(b)$. Quindi prendo:
$ d = \text{inf} \{ |x-y| : x \in A, y \in B \} $
poi ho preso una successione minimizzante(*) (che potrebbe anche essere definitivamente costante) $(x_n,y_n)$ sempre con $x_n \in A$ e $y_n \in B$. Sfruttando la compattezza di $A$ e di $B$ ho preso delle sottosuccessioni convergenti e alla fine mi ritrovo con un $\hat{x}$ e un $\hat{y}$ con cui costruisco un intervallo. Ovviamente non so se $\hat{x}$ sia maggiore o minore di $\hat{y}$, ma quello che conta è che l'intervallo non può avere come punti interni altri punti appartenenti o ad $A$ o ad $B$, per cui poi chiudo con lo stesso argomento per assurdo che hai fatto tu.
Altrimenti avevo pensato anche a un giro complicato definendo una relazione d'ordine parziale sugli intervalli i cui estremi sono l'uno un punto in $A$ e l'altro un punto in $B$, poi facendo un giro assurdo col lemma di Zorn trovavo un intervallo massimale (rispetto all'ordine, ma di lunghezza minima irrealtà) con le proprietà giuste... ma ovviamente è una cosa esagerata (e chiama in ballo l'assioma della scelta) per cui non ci ho nemmeno perso sopra troppo tempo... (potrebbe anche essere tutto campato in aria...).
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(*) Nel senso che:
$ |x_n - y_n|\rightarrow d $
In realtà io amo questo tipo di esercizi perché l'approccio è del tipo: ci si convince che è vero intuitivamente, si prende il motivo per cui è vero e lo si formalizza. Penso inoltre che il tuo secondo approccio sia molto interessante perché adatto a generalizzazioni. Potresti definire la relazione d'ordine di cui hai parlato?
Si anche a me piacciono molto questi esercizi.
Adesso spiego un po' più in dettaglio il "secondo approccio". Premetto che non sono sicurissimo che sia giusto. In oltre, di fatto, si richiede anche l'uso dell'assioma della scelta nella sua versione continua (non numerabile).
Allora, con le stesse notazioni di prima, definisco la classe di intervalli:
$ \mathcal{I} = \{ (x,y) \cup (y,x) : x \in A, y \in B \} $
con la convenzione che:
$(c,d)=\emptyset \qquad \qquad \text{se } c > d$
ora, ovviamente se $J \in \mathcal{I}$, $f(\bar{I}) \supseteq V$, per il teorema dei valori intermedi (indico con la barra la chiusura). Definisco la relazione di ordine parziale su $\mathcal{I}$ dichiarando:
$ I < J \iff J \subset I$
dove $I,J \in \mathcal{I}$. Se $\mathcal{S}$ è una catena in $\mathcal{I}$ allora:
$ Z = \bigcap_{J \in \mathcal{S}} J $
è l'elemento massimale in tale catena. Quindi ogni catena ammette un elemento massimale. Allora per il lemma di Zorn esiste un elemento massimale $Y \in \mathcal{I}$. Ora:
$ f(\bar{Y}) \supseteq V$
e andando ad applicare il medesimo argomento per assurdo che hai portato tu prima troviamo:
$ f(\bar{Y}) = V$
*** EDIT ***
Ho corretto i segni di inclusione... prima avevo usato indistintamente $\subset$ e $\subseteq$.
Adesso spiego un po' più in dettaglio il "secondo approccio". Premetto che non sono sicurissimo che sia giusto. In oltre, di fatto, si richiede anche l'uso dell'assioma della scelta nella sua versione continua (non numerabile).
Allora, con le stesse notazioni di prima, definisco la classe di intervalli:
$ \mathcal{I} = \{ (x,y) \cup (y,x) : x \in A, y \in B \} $
con la convenzione che:
$(c,d)=\emptyset \qquad \qquad \text{se } c > d$
ora, ovviamente se $J \in \mathcal{I}$, $f(\bar{I}) \supseteq V$, per il teorema dei valori intermedi (indico con la barra la chiusura). Definisco la relazione di ordine parziale su $\mathcal{I}$ dichiarando:
$ I < J \iff J \subset I$
dove $I,J \in \mathcal{I}$. Se $\mathcal{S}$ è una catena in $\mathcal{I}$ allora:
$ Z = \bigcap_{J \in \mathcal{S}} J $
è l'elemento massimale in tale catena. Quindi ogni catena ammette un elemento massimale. Allora per il lemma di Zorn esiste un elemento massimale $Y \in \mathcal{I}$. Ora:
$ f(\bar{Y}) \supseteq V$
e andando ad applicare il medesimo argomento per assurdo che hai portato tu prima troviamo:
$ f(\bar{Y}) = V$
*** EDIT ***
Ho corretto i segni di inclusione... prima avevo usato indistintamente $\subset$ e $\subseteq$.
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