Funzioni continue su insiemi trascurabili e integrale alla Lebesgue
Buonasera a tutti, ragionando sull'integrabilità alla Lebesgue dell funzione $1/(x-y)$, nella superficie (D) del petalo di rodonea da [0,$pi/2$] (figura) il mio ragionamento è il seguente:
la funzione integranda è continua e limitata q.o su D( ovvero tranne lungo la bisettrice, la quale essendo una curva dovrebbe essere trascurabile in R2 ) dunque è L-int.
Applicando il Teorema di Tonelli si vede che la parte positiva della funzione, integrata, diverge. Dunque f non sarà L-int, ma non capisco dove sbaglio il ragionamento. Forse è il concetto di misurabilità che non ho compreso pienamente.
Grazie in anticipo
la funzione integranda è continua e limitata q.o su D( ovvero tranne lungo la bisettrice, la quale essendo una curva dovrebbe essere trascurabile in R2 ) dunque è L-int.
Applicando il Teorema di Tonelli si vede che la parte positiva della funzione, integrata, diverge. Dunque f non sarà L-int, ma non capisco dove sbaglio il ragionamento. Forse è il concetto di misurabilità che non ho compreso pienamente.
Grazie in anticipo
Risposte
"M.lle Palomar":
[...] la funzione integranda è continua e limitata q.o su D [...]
Questo è falso, quella funzione non è limitata quasi ovunque in \(D\).
Ma non diverge solo nei punti x=y? dunque lungo la bisettrice del I quadrante?
Se \(f(x,y) = 1/(x-y)\) è senz'altro vero che \(f(x,x)=\infty\) (questa scrittura non è insolita, in Teoria della Misura).
Tuttavia tu stai facendo i conti con la definizione di limitatezza di una funzione; nella fattispecie dato uno spazio con misura \((X,\mathcal{M},\mu)\), diciamo che una funzione \(g:X \to \mathbb{R}\) è limitata quasi ovunque se esiste \(M \in \mathbb{R}\) tale che \(|g(x)|\le M\) per quasi ogni \(x \in X\); cioè la tua proprietà deve valere a meno di un insieme di misura \(\mu\) nulla.
Applica al tuo caso: l'insieme \(A=\{x=y\} \cap D \subseteq D\) ha certamente misura \(2\)-dimensionale di Lebesgue nulla, ma non è vero che \(f\) è limitata su \(D \setminus A\): infatti è grande "a piacere" nei dintorni della bisettrice (passami il linguaggio informale, ma spero intuitivo).
A rigore, per mostrare che \(f\) non è limitata quasi ovunque, dovresti mostrare che non gode di quella proprietà per nessun insieme di misura nulla. Tuttavia il suo integrale diverge, quindi non può essere limitata quasi ovunque.
Tuttavia tu stai facendo i conti con la definizione di limitatezza di una funzione; nella fattispecie dato uno spazio con misura \((X,\mathcal{M},\mu)\), diciamo che una funzione \(g:X \to \mathbb{R}\) è limitata quasi ovunque se esiste \(M \in \mathbb{R}\) tale che \(|g(x)|\le M\) per quasi ogni \(x \in X\); cioè la tua proprietà deve valere a meno di un insieme di misura \(\mu\) nulla.
Applica al tuo caso: l'insieme \(A=\{x=y\} \cap D \subseteq D\) ha certamente misura \(2\)-dimensionale di Lebesgue nulla, ma non è vero che \(f\) è limitata su \(D \setminus A\): infatti è grande "a piacere" nei dintorni della bisettrice (passami il linguaggio informale, ma spero intuitivo).
A rigore, per mostrare che \(f\) non è limitata quasi ovunque, dovresti mostrare che non gode di quella proprietà per nessun insieme di misura nulla. Tuttavia il suo integrale diverge, quindi non può essere limitata quasi ovunque.
si okay, credo di aver capito. Grazie mille
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