Funzioni continue periodiche dense in $L^2([-\pi,\pi])$
Vorrei capire se questo ragionamento è corretto. Denoto con [tex]C_p([-\pi,\pi])[/tex] l'insieme delle funzioni continue periodiche in [tex][-\pi,\pi][/tex]. Le funzioni considerati sono a valori reali.
Proposizione: [tex]C_p([-\pi,\pi])[/tex] è denso in [tex]L^2([-\pi,\pi])[/tex] (in [tex]||\cdot||_2[/tex]).
Innanzitutto osservo che (per un noto teorema) l'insieme [tex]C([-\pi,\pi])[/tex] delle funzioni continue è denso in [tex]L^2([-\pi,\pi])[/tex], perché l'intervallo è compatto. Considero quindi [tex]f \in C([-\pi,\pi])[/tex] ed [tex]\varepsilon > 0[/tex]. Penso alla funzione [tex]f[/tex] come definita nell'intervallo [tex][0, 2\pi][/tex]. In questo modo la funzione avrà una discontinuità al più in [tex]\pi[/tex]. Definisco la funzione:
[tex]g(x):= \begin{cases} f(x) & \text{ se } x \in [0,\pi-\varepsilon]\cup[\pi + \varepsilon,2\pi] \\ f(\pi - \varepsilon) + \frac{f(\pi + \varepsilon) - f(\pi - \varepsilon)}{2\varepsilon} (x-\pi + \varepsilon) & \text{ se } x \in [\pi - \varepsilon, \pi + \varepsilon] \end{cases}[/tex]
[tex]g \in C_p([0,2\pi])[/tex] (Scritta così sembra mostruosa: in pratica considero un intorno nell'eventuale punto di discontinuità e congiungo con una retta i valori della funzione assunti sugli estremi dell'intervallo). Sia ha che [tex]||g||_\infty \leq ||f||_\infty[/tex] (ha senso considerare questa norma perché le funzioni sono limitate). Poiché la f e la g differiscono al più in [tex][\pi - \varepsilon, \pi + \varepsilon][/tex], si ha che:
[tex]||f-g||_2^2 = \int_0^{2\pi}|f(x)-g(x)|^2 dx = \int_{\pi-\varepsilon}^{\pi+\varepsilon} |f(x)-g(x)|^2 dx \leq \\ \leq \int_{\pi-\varepsilon}^{\pi+\varepsilon}(|f(x)|^2+ 2|f(x)||g(x)| + |g(x)|^2) dx \leq \int_{\pi-\varepsilon}^{\pi+\varepsilon} 4||f||_\infty dx = 8||f||_\infty \varepsilon[/tex]
E questo prova la tesi. Trovate errori in questo ragionamento?
Conosco una seconda strada, spiegata (letteralmente) in due parole da Rudin, che consiste nello sfruttare il teorema (citato prima) che stabilisce che le funzioni continue a supporto compatto sono dense negli spazli [tex]L^p[/tex] (per [tex]p \in [1,+\infty[[/tex]) e che le funzioni periodiche in [tex][-\pi, \pi][/tex] si possono identificare con le funzioni definite sulla circonferenza unitaria nel piano complesso ([tex]e^{it} \leftrightarrow t[/tex]) e le funzioni continue periodiche con le funzioni continue sulla circonferenza unitaria. Ma vorrei un parere su quella che ho appena pensato.
Proposizione: [tex]C_p([-\pi,\pi])[/tex] è denso in [tex]L^2([-\pi,\pi])[/tex] (in [tex]||\cdot||_2[/tex]).
Innanzitutto osservo che (per un noto teorema) l'insieme [tex]C([-\pi,\pi])[/tex] delle funzioni continue è denso in [tex]L^2([-\pi,\pi])[/tex], perché l'intervallo è compatto. Considero quindi [tex]f \in C([-\pi,\pi])[/tex] ed [tex]\varepsilon > 0[/tex]. Penso alla funzione [tex]f[/tex] come definita nell'intervallo [tex][0, 2\pi][/tex]. In questo modo la funzione avrà una discontinuità al più in [tex]\pi[/tex]. Definisco la funzione:
[tex]g(x):= \begin{cases} f(x) & \text{ se } x \in [0,\pi-\varepsilon]\cup[\pi + \varepsilon,2\pi] \\ f(\pi - \varepsilon) + \frac{f(\pi + \varepsilon) - f(\pi - \varepsilon)}{2\varepsilon} (x-\pi + \varepsilon) & \text{ se } x \in [\pi - \varepsilon, \pi + \varepsilon] \end{cases}[/tex]
[tex]g \in C_p([0,2\pi])[/tex] (Scritta così sembra mostruosa: in pratica considero un intorno nell'eventuale punto di discontinuità e congiungo con una retta i valori della funzione assunti sugli estremi dell'intervallo). Sia ha che [tex]||g||_\infty \leq ||f||_\infty[/tex] (ha senso considerare questa norma perché le funzioni sono limitate). Poiché la f e la g differiscono al più in [tex][\pi - \varepsilon, \pi + \varepsilon][/tex], si ha che:
[tex]||f-g||_2^2 = \int_0^{2\pi}|f(x)-g(x)|^2 dx = \int_{\pi-\varepsilon}^{\pi+\varepsilon} |f(x)-g(x)|^2 dx \leq \\ \leq \int_{\pi-\varepsilon}^{\pi+\varepsilon}(|f(x)|^2+ 2|f(x)||g(x)| + |g(x)|^2) dx \leq \int_{\pi-\varepsilon}^{\pi+\varepsilon} 4||f||_\infty dx = 8||f||_\infty \varepsilon[/tex]
E questo prova la tesi. Trovate errori in questo ragionamento?
Conosco una seconda strada, spiegata (letteralmente) in due parole da Rudin, che consiste nello sfruttare il teorema (citato prima) che stabilisce che le funzioni continue a supporto compatto sono dense negli spazli [tex]L^p[/tex] (per [tex]p \in [1,+\infty[[/tex]) e che le funzioni periodiche in [tex][-\pi, \pi][/tex] si possono identificare con le funzioni definite sulla circonferenza unitaria nel piano complesso ([tex]e^{it} \leftrightarrow t[/tex]) e le funzioni continue periodiche con le funzioni continue sulla circonferenza unitaria. Ma vorrei un parere su quella che ho appena pensato.
Risposte
Non ho guardato i dettagli ma l'idea mi sembra corretta.
Mica ho capito cosa vuoi dimostrare, però. Funzioni periodiche ma di quale periodo? Presumo $2pi$. Ma se le consideri definite solo su $[-pi, pi]$ allora queste sono tutte le funzioni continue. Forse vuoi dire: $C_p$ è lo spazio delle funzioni $RR \to RR$ periodiche di periodo $2pi$ di cui considerare la restrizione a $[-pi, pi]$?
Credo che con $C_p(-\pi, \pi)$ indichi semplicemente lo spazio delle funzioni $f$ continue su $[-\pi, \pi]$ t.c. $f(\pi) = f(-\pi)$.
Ah si, certo, scusami giaorl. Si in effetti non è proprio ovvio perché lo spazio che sappiamo essere denso è $C([-pi, pi])$, di cui $C_p$ è un sottospazio proprio.
Sì, è come diceva Rigel. Scusate se non ho specificato il periodo, ma penso che si capisse.
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