Funzioni continue e derivabili

[thomas.traverso]

Posto che una funzione è continua in $x_0$ se $lim_(x->x_0) f(x) = x_0 $
e che una funzione è derivabile in $x_0$ se esiste ed è finito il limite del rapporto incrementale, come diavolo faccio a fare degli esempi di funzioni che soddisfano quelle proprietà?

Per la prima mi sembra che non sia possibile che una funzione sia non continua ma derivabile in un punto o sbaglio?

[ciampax]

Per la prima il tuo ragionamento è corretto: se la funzione è derivabile, deve pure essere continua.

Per il secondo punto, c'è una ben nota funzione che si usa come esempio di funzione continua ma non derivabile in $x=0$: sai qual è? Se sì, ragionare su come costruire un esempio richiesto non è per niente difficile.

Per l'ultima, ci possono essere molti esempi: osserva però che la richiesta del fatto che il dominio sia fatto in quel modo, impone necessariamente la presenza nella funzione di un denominatore della forma $x-2$ (perché)?. A quel punto dovresti conoscere almeno un esempio (anche se non sono certo che chiunque lo faccia a lezione) di funzione non definita in $x=0$ che tuttavia risulta prolungabile per continuità in tale punto, e da lì a passare a $x=2$ il passo è breve.

[thomas.traverso]

Ok quindi io so che la funzione $y=|x|$ è continua su tutto R ma non derivabile in $x=0$ ... Quindi in teoria togliendo 2 alla x ottengo quello che chiede giusto?
$y=|x-2|$

E fin qui ok Il problema è che non so di quale funzione stai parlando per il terzo punto xD

[ciampax]

Per il secondo la risposta è corretta.

Per il terzo: sì, effettivamente non tutti la forniscono come esempio, però una tipica funzione non definita solo in $x=0$ ma che si può estendere per continuità in esso è la seguente $f(x)=e^{-1/{x^2}}$. Prova a calcolarne il limite in $x=0$ e vedi cosa viene fuori.