Funzioni continue e compatti.
Ciao!
siano $(X,d_X)$ e $(Y,d_Y)$ spazi metrici, siano $KsubseteqX$ compatto e $f:K->Y$ funzione
lo so, magari è anche facile, ma studio solo ed ho bisogno di conferme
sia ${a_n}_(n inNN)subseteqf(K)$ una successione
allora $foralln inNN,a_n inf(K) => existsx_n inK:f(x_n)=a_n$
- dunque si ottiene una successione ${x_n}_(n inNN)subseteqK:f(x_n)=a_n,foralln inNN$
- $K$ è compatto dunque esiste una sottossuccessione di $(x_(n_j))_(j inNN)$ convergente ad un certo $x_0 inK$
- $f$ è continua in $K$ quindi $d_X(x_(n_j),x_0)->0 => d_Y(f(x_(n_j)),f(x_0))->0$
- essendo $f(x_(n_j))=a_(n_j)$ si ottiene che $d_Y(a_(n_j),f(x_0))->0$
quindi ${a_(n_j)}_(j in NN)$ è una sottosuccessione di ${a_n}_(n inNN)$ convergente ad $f(x_0) inf(K)$ pertanto è compatto.
siano $(X,d_X)$ e $(Y,d_Y)$ spazi metrici, siano $KsubseteqX$ compatto e $f:K->Y$ funzione
$f$ continua $=>$ $f(K)$ compatto.
lo so, magari è anche facile, ma studio solo ed ho bisogno di conferme
sia ${a_n}_(n inNN)subseteqf(K)$ una successione
allora $foralln inNN,a_n inf(K) => existsx_n inK:f(x_n)=a_n$
- dunque si ottiene una successione ${x_n}_(n inNN)subseteqK:f(x_n)=a_n,foralln inNN$
- $K$ è compatto dunque esiste una sottossuccessione di $(x_(n_j))_(j inNN)$ convergente ad un certo $x_0 inK$
- $f$ è continua in $K$ quindi $d_X(x_(n_j),x_0)->0 => d_Y(f(x_(n_j)),f(x_0))->0$
- essendo $f(x_(n_j))=a_(n_j)$ si ottiene che $d_Y(a_(n_j),f(x_0))->0$
quindi ${a_(n_j)}_(j in NN)$ è una sottosuccessione di ${a_n}_(n inNN)$ convergente ad $f(x_0) inf(K)$ pertanto è compatto.
Risposte
Esattamente.
Ma cos'è questa storia che "studi solo"? Non sei iscritto all'università?
Si, sono iscritto.
Le lezioni le seguo poco, solo quelle con i professori con i quali mi trovo bene.
Non so se per me o per i professori, ma alcune lezioni mi lasciano più domande che risposte... quindi diciamo che la maggior parte delle cose che so l’ho appresa da solo.
Anche i libri li uso sporadicamente se non per lettura ‘senza impegno’.
Le dimostrazioni le leggo poco, mi piace farle da me nella maggior parte dei casi, tipo questa
Le lezioni le seguo poco, solo quelle con i professori con i quali mi trovo bene.
Non so se per me o per i professori, ma alcune lezioni mi lasciano più domande che risposte... quindi diciamo che la maggior parte delle cose che so l’ho appresa da solo.
Anche i libri li uso sporadicamente se non per lettura ‘senza impegno’.
Le dimostrazioni le leggo poco, mi piace farle da me nella maggior parte dei casi, tipo questa
Cosa? 
Comunque ti faccio notare che la stessa dimostrazione funziona praticamente uguale se al posto di spazi metrici lavori in spazi topologici.
Devo dare una lettura alla compattezza con i ricoprimenti 
Non necessariamente.
Dici usare la stessa definizione di compattezza sugli spazi topologici?
Se mi dai gli ingredienti ci penso
Se mi dai gli ingredienti ci penso
"anto_zoolander":
Cosa?
Non mi piace questo fatto che non vai a lezione, soprattutto, e neanche mi piace che non leggi i libri. Hai unilateralmente deciso che quasi tutti nel resto del mondo non meritano la tua attenzione.
Si, dico di definire in generale questa proprietà topologica: "uno spazio topologico è compatto per successioni se ogni successione di punti dello spazio ammette una sottosuccessione convergente".
Te hai dimostrato che immagine continua di un compatto per successioni tra spazi metrici è compatta per successioni, ora devi dimostrare immagine continua di un compatto per successioni tra spazi topologici è compatta per successioni.
Non hai bisogno di altri ingredienti se non la definizione di successione convergente in un generico spazio topologico, ma mi sembra che tu la sappia perché se non ricordo male era sbucata fuori in un altro post.
Te hai dimostrato che immagine continua di un compatto per successioni tra spazi metrici è compatta per successioni, ora devi dimostrare immagine continua di un compatto per successioni tra spazi topologici è compatta per successioni.
Non hai bisogno di altri ingredienti se non la definizione di successione convergente in un generico spazio topologico, ma mi sembra che tu la sappia perché se non ricordo male era sbucata fuori in un altro post.
"dissonance":
[quote="anto_zoolander"]Cosa?
Non mi piace questo fatto che non vai a lezione, soprattutto, e neanche mi piace che non leggi i libri. Hai unilateralmente deciso che quasi tutti nel resto del mondo non meritano la tua attenzione.[/quote]
I libri li leggo! Non leggo le dimostrazioni, o quantomeno, le leggo dopo averle fatte io per cercare di scervellarmi senza tentare di copiare il ragionamento altrui(che per quanto possa essere brillante non potrei farlo mio, inizialmente)
A me piace tantissimo ascoltare infatti quando vado a lezione preferisco ascoltare che scrivere, ma vorrei che mi dessero qualcosa in più di un libro...
Alcuni professori fanno copia-incolla dalla dispensa alla lavagna e queste cose mi sembrano solo una perdita di tempo.
Invece con altri professori ho un bellissimo rapporto, ci vado anche molto spesso ai ricevimenti.
@otta
Finisco di giocare a pokerone e ci penso
ma credo di esserci.
"anto_zoolander":
I libri li leggo! Non leggo le dimostrazioni, o quantomeno, le leggo dopo averle fatte io per cercare di scervellarmi senza tentare di copiare il ragionamento altrui(che per quanto possa essere brillante non potrei farlo mio, inizialmente)
Anche io ho fatto così con topologia e analisi, ma da lì in poi secondo me è meglio studiare i vari teoremi in maniera formale. Poi, se ci tieni, puoi sempre scervellarti fino allo sfinimento in tutti gli esercizi dimostrativi presenti nei libri.
Ciao Ernesto!
Per ‘studiare in maniera formale’ intendi evitare di ammazzarsi inutilmente sulle dimostrazioni?
Per ‘studiare in maniera formale’ intendi evitare di ammazzarsi inutilmente sulle dimostrazioni?
"anto_zoolander":
Ciao Ernesto!
Per ‘studiare in maniera formale’ intendi evitare di ammazzarsi inutilmente sulle dimostrazioni?
Beh no, formale nel senso che studi enunciato e dimostrazione dei principali teoremi come presentati in un libro di testo. In questo modo si cerca di implementare il tuo "repertorio" di idee e costruzioni che puoi utilizzare in futuro. Poi puoi ammazzarti di dimostrazioni autonome finché ti pare, ma opterei per dimostrazioni di risultati "opzionali". Io faccio così, ma ognuno fa come gli pare alla fine
Sono d'accordo con Ernesto. La fase di "decifrazione" di una dimostrazione su un libro o altra pubblicazione è noiosa, ma necessaria. Io pure sono un po' come te, anto, cerco sempre di fare di testa mia anche quando sarebbe molto meglio fare uno sforzo di umiltà e cercare di capire cosa hanno fatto gli altri. Questo, per me, è stato fonte di grattacapi varie volte.
Meglio sforzarsi un po' di capire gli altri. Se capisci una dimostrazione di qualcun altro, dopo puoi sempre cercare di rifarla alla tua maniera.
Meglio sforzarsi un po' di capire gli altri. Se capisci una dimostrazione di qualcun altro, dopo puoi sempre cercare di rifarla alla tua maniera.
"dissonance":
Questo, per me, è stato fonte di grattacapi varie volte
Se posso permettermi, potrei sapere il perché?
Il fatto è che ancora non so cosa sia la matematica per me.
Da un lato mi piace fare tantissime dimostrazioni, che uso negli esercizi.
Dall’altro lato vorrei lavorare nel settore finanziario utilizzando le conoscenze matematiche perché è ‘il mio sogno lavorativo’.
Molto spesso questa ‘conflittualità’ tra ciò che devo fare adesso e tutto quello che desidererei fare in futuro mi genera molto sconforto e confusione.
"anto_zoolander":
... mi genera molto sconforto e confusione.
Adesso non esagerare
... imparare bene la Matematica non credo sia dannoso per il tuo futuro "finanziario" 
L'importante è darsi una "misura" (ma questo lo sai già e lo hai già capito
), insomma ti basta raggiungere un po' di equilibrio ...Cordialmente, Alex
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo