Funzioni continue a supporto compatto

[damianormaximus]

Salve a tutti.
Volevo avere una conferma su questo fatto:
C:={funzioni continue a supporto compatto} è incluso in Lp per ogni p finito .

La mia giustificazione è data dal teorema di Weierstrass.
Tuttavia non sono convinto che il risultato continui a valere per p diverso da 1.

Grazie a chiunque risponda.

[Rigel1]

Come giustamente osservi, se \(f\) è una funzione a supporto compatto in \(\mathbb{R}^n\), detto \(K\) il supporto di \(f\) e posto
\[
M := \max_K |f|
\]
(che esiste per il teorema di Weierstrass), per \(p\in [1,+\infty)\) hai che
\[
\| f \|_p = \left(\int_K |f|^p\right)^{1/p} \leq (M^p |K|)^{1/p}\,,
\]
dove \(|K|\) indica la misura (di Lebesgue) del compatto \(K\).

[billyballo2123]

Se una funzione è continua e a supporto compatto, allora è anche in $L^{\infty}$.

[damianormaximus]

Grazie a tutti delle risposte.

Un altro problema che ho (sto preparando l'esame di analisi 3) è il seguente fatto che abbiamo dimostrato a lezione:

(1) Le funzioni semplici sono dense in Lp
(2) Le funzioni continue a supporto compatto sono dense in Lp
(3) Le funzioni derivabili con continuità infinite volte sono dense in Lp
(4) Le funzioni derivabili con continuità infinite volte e a supporto compatto sono dense in Lp

tuttavia nei casi (1) e (2) l'inclusione tra gli spazi C in Lp nel primo caso, C^(infinito) in Lp nel secondo non sussiste (se non sbaglio??)

Devo interpretare questa densità "solo" come approssimazione?
Mentre nei casi (2) e (4) si tratta di densità vera e propria.

Correggetemi se sbaglio.