Funzioni continue

[Plepp]

Ragazzi ho dei problemi con questo esercizio:

"Stabilire, utilizzando la definizione, se la seguente funzione è continua:

f(x)= 1 se x appartiene a [0,1] intersecato Q
2 se x=2."

Per definizione la funzione è continua in x=2 in quanto punto isolato. Che dire del resto?

Grazie!

[Seneca1]

Per ogni punto razionale [tex]$x_0$[/tex] in [tex]$[0,1]$[/tex], comunque fissi [tex]$\epsilon > 0$[/tex], riesci a determinare un intorno [tex]$]x_0 - \delta , x_0 + \delta[$[/tex] del punto fissato tale che per tutti gli [tex]$x \in ]x_0 - \delta , x_0 + \delta[ \cap ( \mathbb{Q} \cap [0,1] )$[/tex] si ha che [tex]$f(x)$[/tex] dista da [tex]$1$[/tex] meno di [tex]$\epsilon$[/tex] ?

E' una domanda banale...


EDIT: Ho corretto i tags.

[dissonance]

Ma nei punti non razionali la funzione non è definita? Quindi il dominio di $f$ è $(QQ nn[0,1]) uu {2}$? E' importante specificare questa informazione, perché se ad esempio la tua funzione è definita anche nei punti non razionali, ad esempio così:

$f(x)={(1, x \in QQ nn [0, 1]), (0, x \in [0, 1] \setminus QQ):}$

allora si ha un classico esempio di funzione $f: [0, 1] \to RR$ discontinua in ogni punto.

Se invece il dominio di $f$ è $(QQ nn [0, 1])$ le cose cambiano... La continuità dipende fortemente dalla topologia del dominio (e anche del codominio) di una funzione.

[Plepp]

Forse sembrerà banale per te ...più che altro non mi è chiaro: "...si ha che f(x) dista da 1 meno di $ epsilon $"

[Seneca1]

"Plepp":Forse sembrerà banale per te ...più che altro non mi è chiaro: "...si ha che f(x) dista da 1 meno di $ epsilon $"

Se escludiamo il punto isolato, la funzione è costante nel suo dominio di definizione. Che non sia definita sugli irrazionali poco importa: in virtù della densità di [tex]$\mathbb{Q}$[/tex] in [tex]$\mathbb{R}$[/tex] , preso un punto razionale nell'intervallo [tex]$[0, 1]$[/tex] (in cui la funzione vale [tex]$1$[/tex]) esiste un intorno di quel punto tale che, per tutti i punti del dominio che cadono in quell'intorno, si ha che le loro immagini sono il punto [tex]$1$[/tex]; quindi ovviamente la differenza tra [tex]$f(x)$[/tex] e [tex]$1$[/tex] è minore di [tex]$\epsilon$[/tex], [tex]$\forall \epsilon > 0$[/tex] (perché per ogni [tex]$x$[/tex] - del dominio e - dell'intorno [tex]$f(x) - 1 \equiv 0 < \epsilon$[/tex] ).

[Plepp]

Ora ci siamo. Grazie