Funzioni continue

[TS778LB]

Dimostrare che se un funzione reale di variabile reale è continua allora risulterà continua anche se la si considera come funzione di più variabili (Ad esempio $ f(x)=sinx $ continua -> $ f(x,y)=sinx $ continua))
Sono partito dalle definizioni di funzione continua in un punto $x_0$:
$ \forall\epsilon>0\exists\delta>0:\forallx: |x-x_0|<\delta->|f(x)-f(x_0)|<\epsilon $ per una funzione di una variabile
$ \forall\epsilon>0\exists\delta>0:\forall(x,y): sqrt((x-x_0)^2+(y-y_0^2))<\delta ->|f(x,y)-f(x_0,y_0)|<\epsilon $ per una funzione di due variabili

Poi avevo pensato di sfruttare la relazione $ |x-x_o|\lesqrt((x-x_0)^2+(y-y_0)^2 $

Ora mi manca la conclusione! Con questa maggiorazione posso solo dire che se $sqrt((x-x_0)^2+(y-y_0^2))<\delta$, allora anche $|x-x_0|<\delta$ e quindi $|f(x)-f(x_0)|<\epsilon$. Ma a me servirebbe giusto l'altra implicazione. Come posso fare?

[marco2132k]

Ma scusa (se oggi tocco cose concrete prendo fuoco): prendi \( f\colon X_1\to Y \) continua tra spazi topologici, e prodotta con uno spazio \( X_2 \). La funzione \( f\times 1_{X_2}\colon X_1\times X_2\to Y\times X_2 \) è continua, e se proietti come \( \pi_{Y}\circ (f\times 1_{X_2}) \) non hai quqllo che cerchi?

[TS778LB]

Sicuramente! Purtroppo non comprendo quel formalismo. Diciamo che sarei interessato a dimostrarlo utilizzando la definizione di continuità in un punto così come suggerito dall'esercizio

[gugo82]

Guarda che la disuguaglianza $|f(x,y) - f(x_0,y_0)|

Cita

Segnala

[TS778LB]

Continuo a non capire...

[gugo82]

Fai un disegno...

Una volta che hai fissato $(x_0,y_0)$, dalla definizione di continuità per la funzione di una variabile trovi un $delta_1 >0$ tale che la disuguaglianza $|f(x,y) - f(x_0,y_0)| < epsilon$ è vera per $|x - x_0| Nella striscia $U$ puoi isolare un intorno circolare di $(x_0,y_0)$? Di che raggio?
I punti di tale intorno soddisfano la disuguaglianza che ti serve?


Ad ogni modo, questo voler cercare per forza un intorno circolare è del tutto inutile.
Infatti, la definizione generale di continuità ti chiede solo di determinare un intorno aperto di $(x_0,y_0)$ i cui punti soddisfano la disuguaglianza, intorno che può avere la forma geometrica che più gli piace… E, visto che la striscia $U$ è un intorno aperto di $(x_0,y_0)$…