Funzioni continue
Salve,premetto che di questo argomento ci ho capito poco e niente,non so proprio da dove iniziare per risolvere gli esercizi dati dal mio prof,vorrei cercare di capire almeno da dove devo iniziare.Ecco ad esempio un esercizio che non so proprio come risolvere,si tratta più che altro di pura teoria che però non so davvero usare.
Stabilire se le seguenti affermazioni sono vere o false motivando la risposta.
1)Per stabilire che una funzione f è continua in c basta verificare che esiste una successione {xn}n convergente a c tale che {f(xn)}n è convergente a f(c).
2)Se f è continua in c allora c appartiene al dominio di f.
3)Se f è continua nell'intervallo I allora f è continua in ogni intervallo J sottoinsieme di I
4)Se l'immagine di un intervallo tramite f è un intervallo,allora f è continua.
5)Se f è monotona,allora f è continua
6)Se f non è continua nell'intervallo I,allora f non ha nè massimo nè minimo in f
Stabilire se le seguenti affermazioni sono vere o false motivando la risposta.
1)Per stabilire che una funzione f è continua in c basta verificare che esiste una successione {xn}n convergente a c tale che {f(xn)}n è convergente a f(c).
2)Se f è continua in c allora c appartiene al dominio di f.
3)Se f è continua nell'intervallo I allora f è continua in ogni intervallo J sottoinsieme di I
4)Se l'immagine di un intervallo tramite f è un intervallo,allora f è continua.
5)Se f è monotona,allora f è continua
6)Se f non è continua nell'intervallo I,allora f non ha nè massimo nè minimo in f
Risposte
Rispondo in base alle mie conoscenze:
1) Questa sembra falsa, la definizione di continuità di una funzione in un punto $c$ si ha quando: $lim_(x->c) f(x) = f(c) $ significa che la funzione deve convergere al valore che assume nel punto, però questo accade in $f:A->B$ con $A,B \subseteq R $, che è diverso dal tuo caso per il fatto che non parliamo di successioni, ma credo valga lo stesso.
2)Questa è vera per quello che abbiamo detto prima, se esiste il limite della funzione nel punto $c$ e assume il valore della funzione nel medesimo, allora per forza dovrà essere un punto del dominio.
3)Questa sembra vera, chiaramente se abbiamo un insieme e calcoliamo i limiti in tutti i punti dell'insieme e tutti i limiti convergono al valore della funzione nel punto, allora a maggior ragione varrà per qualsiasi sottoinsieme prendiamo.
4)Questa sembra vera, perchè ad esempio: se prendiamo la funzione $x^2$ e prendiamo l'intervallo $x \in [2,3]$, la funzione ha un corrispettivo $f(x) \in [f(2),f(3)]$ il che sembra ragionevole dire che è continua. Se non fosse un itervallo probabilmente sarebbe un qualcosa definito a tratti o con delle discontinuità particolari.
EDIT: è falsa
5)Questa è falsa, una funzione è monotona quando:
- debolmente crescente presi $x_1 > x_2 \Rightarrow f(x_1) >= f(x_2)$
- strettamente crescente presi $x_1 > x_2 \Rightarrow f(x_1) > f(x_2)$
- debolmente decrescente presi $x_1 > x_2 \Rightarrow f(x_1) <= f(x_2)$
- strettamente decrescente presi $x_1 > x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)$
non è detto che se vale una di queste condizioni allora sia continua, ad esempio prova a pensare una funzione che cresce sempre e che ha un buchino dove non è definita, è crescente, ma non continua.
6)Anche questa sembra falsa, prova a pensare ad una parabola con la concavità rivolta verso il basso, se avesse un buchino vicino al massimo, nell'intervallo che prendiamo in considerazione, non è vero che il massimo "sparisce".
1) Questa sembra falsa, la definizione di continuità di una funzione in un punto $c$ si ha quando: $lim_(x->c) f(x) = f(c) $ significa che la funzione deve convergere al valore che assume nel punto, però questo accade in $f:A->B$ con $A,B \subseteq R $, che è diverso dal tuo caso per il fatto che non parliamo di successioni, ma credo valga lo stesso.
2)Questa è vera per quello che abbiamo detto prima, se esiste il limite della funzione nel punto $c$ e assume il valore della funzione nel medesimo, allora per forza dovrà essere un punto del dominio.
3)Questa sembra vera, chiaramente se abbiamo un insieme e calcoliamo i limiti in tutti i punti dell'insieme e tutti i limiti convergono al valore della funzione nel punto, allora a maggior ragione varrà per qualsiasi sottoinsieme prendiamo.
4)Questa sembra vera, perchè ad esempio: se prendiamo la funzione $x^2$ e prendiamo l'intervallo $x \in [2,3]$, la funzione ha un corrispettivo $f(x) \in [f(2),f(3)]$ il che sembra ragionevole dire che è continua. Se non fosse un itervallo probabilmente sarebbe un qualcosa definito a tratti o con delle discontinuità particolari.
EDIT: è falsa
"Rigel":
4) Falso. Basta che \(f\) soddisfi la proprietà di Darboux, o proprietà dei valori intermedi.
5)Questa è falsa, una funzione è monotona quando:
- debolmente crescente presi $x_1 > x_2 \Rightarrow f(x_1) >= f(x_2)$
- strettamente crescente presi $x_1 > x_2 \Rightarrow f(x_1) > f(x_2)$
- debolmente decrescente presi $x_1 > x_2 \Rightarrow f(x_1) <= f(x_2)$
- strettamente decrescente presi $x_1 > x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)$
non è detto che se vale una di queste condizioni allora sia continua, ad esempio prova a pensare una funzione che cresce sempre e che ha un buchino dove non è definita, è crescente, ma non continua.
6)Anche questa sembra falsa, prova a pensare ad una parabola con la concavità rivolta verso il basso, se avesse un buchino vicino al massimo, nell'intervallo che prendiamo in considerazione, non è vero che il massimo "sparisce".
"ElCastigador":
Stabilire se le seguenti affermazioni sono vere o false motivando la risposta.
1)Per stabilire che una funzione f è continua in c basta verificare che esiste una successione {xn}n convergente a c tale che {f(xn)}n è convergente a f(c).
2)Se f è continua in c allora c appartiene al dominio di f.
3)Se f è continua nell'intervallo I allora f è continua in ogni intervallo J sottoinsieme di I
4)Se l'immagine di un intervallo tramite f è un intervallo,allora f è continua.
5)Se f è monotona,allora f è continua
6)Se f non è continua nell'intervallo I,allora f non ha nè massimo nè minimo in f
Ti fornisco qualche spunto, poi prova a ragionarci sopra.
1) Falso. Se hai studiato la teoria, dovresti avere incontrato un teorema che lega il limite in \(c\) con i limiti successionali in \(c\) (spesso è chiamato teorema ponte). Non dovresti avere difficoltà a costruire un controesempio.
2) Vero. (Basta leggere la definizione di continuità.)
3) Vero. (Basta leggere la definizione di continuità.)
4) Falso. Basta che \(f\) soddisfi la proprietà di Darboux, o proprietà dei valori intermedi.
5) Falso. Ad esempio, una funzione monotona su un intervallo può avere un'infinità numerabile di discontinuità di tipo salto.
6) Falso. La funzione \(f\colon [0,1]\to\mathbb{R}\) definita da
\[
f(x) = \begin{cases}
1, &\text{se}\ x\in (0,1],\\
0, &\text{se}\ x=0,
\end{cases}
\]
ha sia massimo che minimo in \([0,1]\), pur non essendo continua.
Grazie mille ad entrambi ragazzi 
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