Funzioni continue

[giulia.mate1]

Salve a tutti.
Qualcuno sa darmi qualche dritta per risolvere questo esercizio? Grazie
Dimostrare che esiste un'unica funzione continua

$f: [0,1]\to RR$

tale che
$f(x) = senx + \int_0^1 e^-(x+y+1)f(y)dy$

[Paolo902]

Nessuna idea tua? Te ne butto lì una, vedi un po' se funziona. Prova a considerare l'operatore $T: C[0,1] \to C[0,1]$ definito da
\[
f(x) \mapsto Tf(x):=\sin{x} + e^{-x-1}\int_0^1 e^{-y}f(y)dy
\]


P.S. Benvenuta!

[giulia.mate1]

grazie, provo a fare.

[gugo82]

Noto, en passant, che l'operatore che figura al secondo membro dell'equazione integrale assegnata è la composizione di una traslazione e di un multiplo di una proiezione su un sottospazio; dunque il problema ha anche un'interpretazione geometrica abbastanza immediata (dal punto di vista euclideo)...

Infatti, detti \(u(x)=\sin x\) ed \(v(x)=e^{-x}\), mettendo su \(C\) la struttura di spazio normato indotta dal prodotto scalare \(L^2\), hai:
\[
\| v\|_2^2 = \int_0^1 e^{-2x}\ \text{d} x= \frac{e^2-1}{2e^2}
\]
e cerchi \(f(x)\) in modo che:
\[
f = u + \frac{1}{e}\ \langle f,v\rangle\ v
\]
ossia:
\[
f - u = \frac{\| v\|_2^2}{e}\ \frac{\langle f,v\rangle}{\| v\|_2^2}\ v \qquad \Leftrightarrow \qquad f - u = \frac{e^2-1}{2e^3}\ \frac{\langle f,v\rangle}{\| v\|_2^2}\ v
\]
sicché \(f\) è caratterizzata dal fatto che la sua proiezione su \(v\), i.e. \(\frac{\langle f,v\rangle}{\| v\|_2}\ v\), è un multiplo del vettore \(f-u\).

Vista così, si capisce che questo è un problema di Algebra Lineare più che di Analisi.