Funzioni con più variabili
Ciao a tutti
Ho bisogno di un vostro aiuto
Sto cercando di capire come si fa lo studio di funzioni con più variabili...ma sono ancora in alto mare
Se ad esempio ho un esercizio del genere:
Calcolare gli eventuali estremi relativi e gli estremi assoluti della funzione
$f(x,y,z)=sqrt[1+|x^3-y^3|e^(-z^2(x^2+y^2))]$
nel suo campo di esistenza
cosa devo fare???
Non sò da dove iniziare!!!
Qualcuno mi può spiegare come si fà lo studio di una funzione con più variabili....ve ne sarei molto grata
Ciao
Ho bisogno di un vostro aiuto
Sto cercando di capire come si fa lo studio di funzioni con più variabili...ma sono ancora in alto mare
Se ad esempio ho un esercizio del genere:
Calcolare gli eventuali estremi relativi e gli estremi assoluti della funzione
$f(x,y,z)=sqrt[1+|x^3-y^3|e^(-z^2(x^2+y^2))]$
nel suo campo di esistenza
cosa devo fare???
Non sò da dove iniziare!!!
Qualcuno mi può spiegare come si fà lo studio di una funzione con più variabili....ve ne sarei molto grata
Ciao
Risposte
"paggisan":
Calcolare gli eventuali estremi relativi e gli estremi assoluti della funzione
$f(x,y,z)=sqrt[1+|x^3-y^3|e^(-z^2(x^2+y^2))]$
nel suo campo di esistenza
Tanto per iniziare la funzione è simmetrica rispetto al piano $y=x$.
La funzione $f$ è definita $\forall (x,y,z) \in \mathbb R^3$ ed è infinitamente derivabile tranne che nel piano $x-y=0$.
Poiché $|x^3 - y^3| e^{-z^2(x^2+y^2)}\geq 0$, la funzione $f$ assume valori maggiori o uguali ad $1$ e, se $x=y$, la funzione vale $1$. Quindi possiamo concludere che i punti del piano $x-y=0$ sono di minimo assoluto. Per cercare eventuali altri estremanti nell'insieme ${(x,y,z) \in \mathbb R^3 | x-y \ne 0}$ dove la funzione è derivabile, puoi determinare i punti stazionari risolvendo il sistema:
${\partial f}/ {\partial x} = {\partial f}/ {\partial y} = {\partial f}/ {\partial z} = 0$.
Ho abbozzato i conti e sembra che il sistema non ammetta soluzioni.
Poiché $|x^3 - y^3| e^{-z^2(x^2+y^2)}\geq 0$, la funzione $f$ assume valori maggiori o uguali ad $1$ e, se $x=y$, la funzione vale $1$. Quindi possiamo concludere che i punti del piano $x-y=0$ sono di minimo assoluto. Per cercare eventuali altri estremanti nell'insieme ${(x,y,z) \in \mathbb R^3 | x-y \ne 0}$ dove la funzione è derivabile, puoi determinare i punti stazionari risolvendo il sistema:
${\partial f}/ {\partial x} = {\partial f}/ {\partial y} = {\partial f}/ {\partial z} = 0$.
Ho abbozzato i conti e sembra che il sistema non ammetta soluzioni.
vi ringrazio per le spiegazioni direi ottime
solo 1 cosa...quando faccio le derivate parziali, ho qualche problema con il valore assoluto...cioè non sò come comportarmi
se fosse stato il valore assoluto di 1 solo variabile non c'erano problemi...ma qui ho 2 variabili in valore assoluto......mica posso fare
caso x^3-y^3>0
e caso x^3-y^3<0
come faccio???
solo 1 cosa...quando faccio le derivate parziali, ho qualche problema con il valore assoluto...cioè non sò come comportarmi
se fosse stato il valore assoluto di 1 solo variabile non c'erano problemi...ma qui ho 2 variabili in valore assoluto......mica posso fare
caso x^3-y^3>0
e caso x^3-y^3<0
come faccio???
Puoi Introdurre la funzione segno
$\sgn(x) = \{(1\ \text{se}\ x>0), (-1 \text{se}\ x<0), (0 \text{se}\ x = 0):}$.
La derivata di un valore assoluto è
$\frac{d}{dx}|f(x)| = \sgn(f(x)) \frac{d}{dx}f(x)$
(dove $f(x)\ne0$).
La funzione segno ti permette di derivare funzioni con dentro valori assoluti senza distinguere i vari casi.
La ricerca dei punti stazionari della tua funzione non è così difficile come sembra. Ponendo la derivata rispetto a $z$ uguale a zero determini $z=0$ che sostituito nelle altre deivate parziali...
$\sgn(x) = \{(1\ \text{se}\ x>0), (-1 \text{se}\ x<0), (0 \text{se}\ x = 0):}$.
La derivata di un valore assoluto è
$\frac{d}{dx}|f(x)| = \sgn(f(x)) \frac{d}{dx}f(x)$
(dove $f(x)\ne0$).
La funzione segno ti permette di derivare funzioni con dentro valori assoluti senza distinguere i vari casi.
La ricerca dei punti stazionari della tua funzione non è così difficile come sembra. Ponendo la derivata rispetto a $z$ uguale a zero determini $z=0$ che sostituito nelle altre deivate parziali...
mica posso dire caso $x^3+y>0$ ecc...
Chi ti ha detto che non lo puoi fare?
Puoi dividere lo spazio in regioni su cui l'argomento del val.assoluto ha sempre lo stesso segno, e studiare la funzione separatamente sulle varie regioni. Quando avevi funzioni di una variabile e c'era il valore assoluto facevi, in fondo, la stessa cosa: dicendo caso $g(x)>0$, $g(x)<0$ intendevi: quando $x$ è su un certo intervallo, studio una funzione, quando $x$ è su un altro intervallo ne studio un'altra. Con più variabili gli intervalli non ci sono più ma continuano ad esserci dei "pezzi" (il nome corretto è sottoinsiemi connessi) in cui spezzare lo spazio. spero di essere stato chiaro. Ciao!
P.S.: Il sistema suggerito da 5inGold è equivalente a questo, naturalmente. Quello è un sistema più compatto e veloce, però penso che sia meglio iniziare avendo un'idea geometrica delle cose.
L'unico pregio dell'uso della funzione sgn è che si calcola la derivata una sola volta. Se poi si deve studiare la funzione derivata, ci tocca dividere lo spazio in regioni secondo il segno dell'argomento del valore assoluto e studiare la derivata separatamente.
Ma per la funzione $f$ non è necessario studiare le derivate separatamente.
Ma per la funzione $f$ non è necessario studiare le derivate separatamente.
uffaa......
ho capito quello che volete dire....ma non sò applicarlo.....
ad esempio ho quest'altra funzione in cui trovare max. e min
$f(x,y,z)=1/[sqrt((|x-y|y^2+|z|)^2+1)]$
non riesco a capire come mi devo comportare con il valore assoluto....il problema è sempre quello....non potete farmi vedere voi PRATICAMENTE come si fa???
io mi sono "spezzata" la f(x,y,z) il 2 funzioni:
$g(x,y,z)=sqrt((|x-y|y^2+|z|)^2$ e poi $ h(t)=1/[sqrt(t^2+1)]$
ma non sò fare le derivate parziali della g(x,y,z)........mi fate vedere voi come si fanno???
ho capito quello che volete dire....ma non sò applicarlo.....
ad esempio ho quest'altra funzione in cui trovare max. e min
$f(x,y,z)=1/[sqrt((|x-y|y^2+|z|)^2+1)]$
non riesco a capire come mi devo comportare con il valore assoluto....il problema è sempre quello....non potete farmi vedere voi PRATICAMENTE come si fa???
io mi sono "spezzata" la f(x,y,z) il 2 funzioni:
$g(x,y,z)=sqrt((|x-y|y^2+|z|)^2$ e poi $ h(t)=1/[sqrt(t^2+1)]$
ma non sò fare le derivate parziali della g(x,y,z)........mi fate vedere voi come si fanno???
Io farei così:
Quando è $x-y>=0$? E quando è $z>=0$?
Risposta: $x-y>=0$ definisce un semispazio, che chiamiamo $S$. ($S:={(x,y,z)\inRR^3 | x-y>=0}$).
Invece chiamiamo $T:={(x,y,z)\inRR^3 | z>=0}$.
Allora distinguiamo quattro casi:
1) $(x,y,z)\inSnnT$, e allora $f(x,y,z)=\frac{1}{sqrt{(xy^2-y^3+z)^2 +1}$;
2)$(x,y,z)\inS, (x,y,z)\notin T$ e allora $f(x,y,z)=\frac{1}{sqrt{(xy^2-y^3-z)^2+1}$;
$\vdots$
Così puoi studiare la funzione nei quattro insiemi (aperti) $SnnT, S-T, T-S, RR^3-(SuuT)$.
Restano esclusi da questa analisi i bordi di $S$ e di $T$. Cioè gli insiemi $del(S)={x-y=0}$, $del(T)={z=0}$. Questi te li devi studiare a parte.
Naturalmente non è l'unico modo di procedere, ma secondo me è il più chiaro.
Ciao!
Quando è $x-y>=0$? E quando è $z>=0$?
Risposta: $x-y>=0$ definisce un semispazio, che chiamiamo $S$. ($S:={(x,y,z)\inRR^3 | x-y>=0}$).
Invece chiamiamo $T:={(x,y,z)\inRR^3 | z>=0}$.
Allora distinguiamo quattro casi:
1) $(x,y,z)\inSnnT$, e allora $f(x,y,z)=\frac{1}{sqrt{(xy^2-y^3+z)^2 +1}$;
2)$(x,y,z)\inS, (x,y,z)\notin T$ e allora $f(x,y,z)=\frac{1}{sqrt{(xy^2-y^3-z)^2+1}$;
$\vdots$
Così puoi studiare la funzione nei quattro insiemi (aperti) $SnnT, S-T, T-S, RR^3-(SuuT)$.
Restano esclusi da questa analisi i bordi di $S$ e di $T$. Cioè gli insiemi $del(S)={x-y=0}$, $del(T)={z=0}$. Questi te li devi studiare a parte.
Naturalmente non è l'unico modo di procedere, ma secondo me è il più chiaro.
Ciao!
ok
provo a fare questi 4 casi....e ti faccio sapere......speriamo bene......
provo a fare questi 4 casi....e ti faccio sapere......speriamo bene......
ok....penso si esserci....
ma quindi in quella di prima dovevo fare 2 casi:
1 caso: (x,y,z)€S
$f(x,y,z)=sqrt[1+(x^3-y^3)e^(-z^2(x^2+y^2))]$
2 caso (x,y,z)€R^3-S
$f(x,y,z)=sqrt[1+(-x^3+y^3)e^(-z^2(x^2+y^2))]$
con $S=((x,y,z)€R^3 : x^3-y^3>=0)$
e mi faccio le derivate parziali per ciascuno dei due casi
giusto???
ora provo a farmi anche quella di prima....e vediamo un pò.....
comunque grazie a tutti!!!!
ma quindi in quella di prima dovevo fare 2 casi:
1 caso: (x,y,z)€S
$f(x,y,z)=sqrt[1+(x^3-y^3)e^(-z^2(x^2+y^2))]$
2 caso (x,y,z)€R^3-S
$f(x,y,z)=sqrt[1+(-x^3+y^3)e^(-z^2(x^2+y^2))]$
con $S=((x,y,z)€R^3 : x^3-y^3>=0)$
e mi faccio le derivate parziali per ciascuno dei due casi
giusto???
ora provo a farmi anche quella di prima....e vediamo un pò.....
comunque grazie a tutti!!!!
Utilizzando la funzione $\sgn$ e le usuali regole di derivazione non è necessario svolgere le derivate parziali per ognuno dei quattro domini.
Ti faccio un esempio dell'utilizzo della funzione $\sgn$.
$\frac{\partial}{\partial y} |x-y| = \sgn(x-y)*(-1)$
e
$\frac{\partial}{\partial y} (|x-y|y^2+|z|)^2 = 2 (|x-y|y^2+|z|) * \frac{\partial}{\partial y} (|x-y|y^2+|z|) = 2 (|x-y|y^2+|z|) ( - \sgn(x-y) * y^2 + |x-y| * 2 y)$.
Le tre derivate parziali $f$ sono:
$\frac{\partial f}{\partial x} = - \frac{y^2 \sgn (x-y) (|x-y|y^2+|z|)}{((|x-y|y^2+|z|)^2+1)^{3/2}}$
$\frac{\partial f}{\partial y} = - \frac{(2 y |x-y| - y^2 \sgn (x-y)) (|x-y|y^2+|z|)}{((|x-y|y^2+|z|)^2+1)^{3/2}}$
$\frac{\partial f}{\partial z} = - \frac{ \sgn (z) (|x-y|y^2+|z|)}{((|x-y|y^2+|z|)^2+1)^{3/2}}$
Nella ricerca dei punti stazionari e quindi nella risoluzione delle equazioni
$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial f}{\partial z} = 0$
si devono distinguere i vari casi, recuperando il significato del valore assoluto. Ma in questo caso si può evitare.
Consideriamo l'insieme dei punti in cui $f$ è derivabile: $z \ne 0$ o $x\ne y$
Dall'eq.
$\frac{\partial f}{\partial x} = 0$ otteniamo $y= 0$. Sostituendo $y=0$ nella derivata rispetto a $z$, otteniamo $z=0$ quindi non esistono punti stazionari.
Rimane da studiare $f$ sui bordi dell'insieme di derivabilità.
Direi che la funzione ammette come punti di max assoluto gli elementi dell'insieme ${(x,y,z) \in \mathbb R^3 : z=0,\ x=y}$ per i quali $f$ vale $1$
Ti faccio un esempio dell'utilizzo della funzione $\sgn$.
$\frac{\partial}{\partial y} |x-y| = \sgn(x-y)*(-1)$
e
$\frac{\partial}{\partial y} (|x-y|y^2+|z|)^2 = 2 (|x-y|y^2+|z|) * \frac{\partial}{\partial y} (|x-y|y^2+|z|) = 2 (|x-y|y^2+|z|) ( - \sgn(x-y) * y^2 + |x-y| * 2 y)$.
Le tre derivate parziali $f$ sono:
$\frac{\partial f}{\partial x} = - \frac{y^2 \sgn (x-y) (|x-y|y^2+|z|)}{((|x-y|y^2+|z|)^2+1)^{3/2}}$
$\frac{\partial f}{\partial y} = - \frac{(2 y |x-y| - y^2 \sgn (x-y)) (|x-y|y^2+|z|)}{((|x-y|y^2+|z|)^2+1)^{3/2}}$
$\frac{\partial f}{\partial z} = - \frac{ \sgn (z) (|x-y|y^2+|z|)}{((|x-y|y^2+|z|)^2+1)^{3/2}}$
Nella ricerca dei punti stazionari e quindi nella risoluzione delle equazioni
$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial f}{\partial z} = 0$
si devono distinguere i vari casi, recuperando il significato del valore assoluto. Ma in questo caso si può evitare.
Consideriamo l'insieme dei punti in cui $f$ è derivabile: $z \ne 0$ o $x\ne y$
Dall'eq.
$\frac{\partial f}{\partial x} = 0$ otteniamo $y= 0$. Sostituendo $y=0$ nella derivata rispetto a $z$, otteniamo $z=0$ quindi non esistono punti stazionari.
Rimane da studiare $f$ sui bordi dell'insieme di derivabilità.
Direi che la funzione ammette come punti di max assoluto gli elementi dell'insieme ${(x,y,z) \in \mathbb R^3 : z=0,\ x=y}$ per i quali $f$ vale $1$
Per la funzione con l'esponenziale, guarda come diventa la derivata rispetto a $z$:
$\frac{\partial}{\partial z} \sqrt{1+|x^3 - y^3 | * e^{-z^2(x^2+y^2)}} = \frac{ |x^3 - y^3 | e^{-z^2(x^2+y^2) } *(-2 z) (x^2+y^2) }{2 \sqrt{1+|x^3 - y^3 | * e^{-z^2(x^2+y^2)}}$
che si annulla, nell'insieme di derivabilità, se $z=0$
$\frac{\partial}{\partial z} \sqrt{1+|x^3 - y^3 | * e^{-z^2(x^2+y^2)}} = \frac{ |x^3 - y^3 | e^{-z^2(x^2+y^2) } *(-2 z) (x^2+y^2) }{2 \sqrt{1+|x^3 - y^3 | * e^{-z^2(x^2+y^2)}}$
che si annulla, nell'insieme di derivabilità, se $z=0$
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