Funzioni con gradiente nullo in un connesso
Salve a tutti, sto vedendo la dimostrazione del teorema secondo cui una funzione continua \[f: A\to R \]
con \[ A\] connesso di \[ R^n\]con gradiente nullo, è costante in tale insieme.
Per farlo viene fissato un punto \[x_0 \in A\]e si costruiscono i due insieme
\[A_1=\{ x\in A | f(x)=f(x_0)\]
e l'insieme
\[ A_2= \{ x\in A | f(x)\neq f(x_0)\} \]
Si fa vedere che questi due insiemi sono aperti e quindi uno dei due deve essere vuoto e questo è ovviamente \[A_2\]
Ora il problema è che l'insieme \[ A_1\]non dovrebbe essere chiuso? essendo l'antiimmagine di un chiuso mediante la funzione continua \[g(x)=f(x)-f(x_0)\]
Precisamente l'antiimmagine del chiuso \[\{0\} \]
con \[ A\] connesso di \[ R^n\]con gradiente nullo, è costante in tale insieme.
Per farlo viene fissato un punto \[x_0 \in A\]e si costruiscono i due insieme
\[A_1=\{ x\in A | f(x)=f(x_0)\]
e l'insieme
\[ A_2= \{ x\in A | f(x)\neq f(x_0)\} \]
Si fa vedere che questi due insiemi sono aperti e quindi uno dei due deve essere vuoto e questo è ovviamente \[A_2\]
Ora il problema è che l'insieme \[ A_1\]non dovrebbe essere chiuso? essendo l'antiimmagine di un chiuso mediante la funzione continua \[g(x)=f(x)-f(x_0)\]
Precisamente l'antiimmagine del chiuso \[\{0\} \]
Risposte
Sì è chiuso, e quindi?
"Martino":
Sì è chiuso, e quindi?
Eh, nella dimostrazione del libro si dimostra che è aperto
@mario99: Un insieme può essere sia aperto sia chiuso; le definizioni di insieme aperto e chiuso non sono una la negazione logica dell'altra.
Ho capito
Grazie mille
Grazie mille
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