Funzioni con gradiente Nullo
Salve a tutti, ultimamente sono abbastanza "sfortunato" con i topic proposti in questo forum ( nessuno mi degna di risposta 
) , spero che almeno in questo caso qualcuno chiarirà qualche mio dubbio.
Sto studiando sul Marcellini Sbordone 2 , libro rigorosissimo ma questo teorema proprio non mi è chiaro, pertanto cito testualmente :
Teorema :" Se una funzione ammette gradiente nullo in tutti i punti di un aperto connesso $ A sube RR^n $ , allora $ f $ è costante su $ A $ .Dimostrazione : essendo per ipotesi tutte le derivate parziali di $ f $ nulle in $ A $ tali derivate sono continue e pertanto $ f $ è differenziabile in A. Fissato $ x_0 in A $ definiamo l'insieme
$ A_1{x in A t.c.f(x)=f(x_0)} $
Evidentemente $ A=A_1uu A_2 $ , dove $ A_2={x in A t.c. f(x)!= f(x_0)} $ . ( E fino a qui tutto chiarissimo. Scrivo in grassetto l'unica cosa che proprio non mi è chiara ).
Essendo f differenziabile in $ A $ essa è anche continua. Pertanto $ A_2 $ è aperto. "
Ho trovato un post simile su questo forum risalente ad anni fa ma la spiegazione del mio problema, seppur abbastanza chiara, mi pare esuli dalle conoscenze che dovrei avere. Se il professore al'esame mi chiedesse questo teorema non penso potrei dimostrargli il suddetto passaggio mediante argomentazioni da lui non trattate e non presenti sul libro ( clopen set e quant'altro).
Pertanto mi soprende che il Marcellini Sbordone non si soffermi per nulla su questo passaggio, che io proprio non riesco a capire. Il resto del teorema è abbastanza semplice. Spero che qualcuno mi aiuti stavolta
) , spero che almeno in questo caso qualcuno chiarirà qualche mio dubbio.Sto studiando sul Marcellini Sbordone 2 , libro rigorosissimo ma questo teorema proprio non mi è chiaro, pertanto cito testualmente :
Teorema :" Se una funzione ammette gradiente nullo in tutti i punti di un aperto connesso $ A sube RR^n $ , allora $ f $ è costante su $ A $ .Dimostrazione : essendo per ipotesi tutte le derivate parziali di $ f $ nulle in $ A $ tali derivate sono continue e pertanto $ f $ è differenziabile in A. Fissato $ x_0 in A $ definiamo l'insieme
$ A_1{x in A t.c.f(x)=f(x_0)} $
Evidentemente $ A=A_1uu A_2 $ , dove $ A_2={x in A t.c. f(x)!= f(x_0)} $ . ( E fino a qui tutto chiarissimo. Scrivo in grassetto l'unica cosa che proprio non mi è chiara ).
Essendo f differenziabile in $ A $ essa è anche continua. Pertanto $ A_2 $ è aperto. "
Ho trovato un post simile su questo forum risalente ad anni fa ma la spiegazione del mio problema, seppur abbastanza chiara, mi pare esuli dalle conoscenze che dovrei avere. Se il professore al'esame mi chiedesse questo teorema non penso potrei dimostrargli il suddetto passaggio mediante argomentazioni da lui non trattate e non presenti sul libro ( clopen set e quant'altro).
Pertanto mi soprende che il Marcellini Sbordone non si soffermi per nulla su questo passaggio, che io proprio non riesco a capire. Il resto del teorema è abbastanza semplice. Spero che qualcuno mi aiuti stavolta
Risposte
Si vede che gli autori hanno avuto un pruritino topologico e se ne sono usciti con i clopen, ma puoi dare una dimostrazione geometricamente più intuitiva. Prendi due punti $x_0, x_1\in A$. *Siccome $A$ è connesso*, esiste una curva $\gamma\colon [0, 1]\to A$ differenziabile e tale che $\gamma(0)=x_0, \gamma(1)=x_1$. (Fai un disegno: è una curva che connette i due punti). E quindi uno considera la funzione di una sola variabile $g(t)=f(\gamma(t))$ e si accorge che $g'(t)=0$ per ogni $t\in(0,1)$.
Quando poi ti studi bene il concetto di connessione (su $RR^n$) ti accorgi che alla fine stai facendo la stessa cosa con i clopen o con gli archi che connettono due punti, quindi sostanzialmente questa dimostrazione è la stessa di quella di Marcellini-Sbordone, però è intuitivamente molto più accessibile.
Quando poi ti studi bene il concetto di connessione (su $RR^n$) ti accorgi che alla fine stai facendo la stessa cosa con i clopen o con gli archi che connettono due punti, quindi sostanzialmente questa dimostrazione è la stessa di quella di Marcellini-Sbordone, però è intuitivamente molto più accessibile.
Grazie infinite credo di aver capito 
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo