Funzioni composte e dominio
Ciao, [tex][/tex]
ho appena iniziato il corso di Analisi e ho già qualche dubbio sulle funzioni composte e sul loro dominio.
Io ho capito che se ho due funzioni [tex]f(x)[/tex] e [tex]g(x)[/tex] per fare la composta [tex]g o f[/tex] applico prima [tex]f[/tex] a [tex]x[/tex] e poi [tex]g[/tex] a [tex]f(x)[/tex] quindi viene [tex]g(f(x))[/tex] mentre per fare [tex]f o g[/tex] faccio l'opposto cioè [tex]f(g(x))[/tex].
E per trovare il dominio di [tex]g o f[/tex] e [tex]f o g[/tex]?
Io farei il grafico di [tex]g(f(x))[/tex] e di [tex]f(g(x))[/tex] e poi guarderei sul disegno la soluzione ma penso che ci sia (anzi c'è) un metodo più veloce ed immediato e magari più corretto senza passare per il grafico. Bisogna guardare l'immagine di una funzione e vedere se.. booo, non ho capito bene
Ci sono casi in cui non è possibile fare [tex]g o f[/tex] e [tex]f o g[/tex]? Come si riconoscono?
Qualcuno potrebbe spiegarmelo in modo molto semplice?
Per esempio ho fatto quest'esercizio:
Siano date le funzioni [tex]f(x) =[/tex]$sqrt(x)$ e [tex]g(x) = 3x - x^2[/tex]. Determinare dominio ed intervalli di monotonia di [tex]g o f[/tex] e [tex]f o g[/tex]. Scrivere quindi le espressioni esplicite di [tex]g o f[/tex] e [tex]f o g[/tex].
L'ho risolto in questo modo:
[tex]g o f = g(f(x)) = g([/tex]$sqrt(x)$[tex]) = 3[/tex]$sqrt(x)$[tex]- ([/tex]$sqrt(x)$[tex])^2 = 3[/tex]$sqrt(x)$[tex]- x[/tex]
Il cui grafico è:
http://imageshack.us/photo/my-images/820/immagineotj.png
Da questo noto che il dominio di [tex]g o f[/tex] è: [tex][0, +\infty)[/tex]
Mentre gli intervalli di monotonia sono:
[tex][0, 2][/tex] Crescente
[tex](2, +\infty)[/tex] Decrescente
[tex]f o g = f(g(x)) = f(3x - x^2) =[/tex]$sqrt(3x - x^2)$
Il cui grafico è:
http://imageshack.us/photo/my-images/29/immagine1xia.png
Da questo noto che il dominio di [tex]f o g[/tex] è: [tex][0, 3][/tex]
Mentre gli intervalli di monotonia sono:
[tex][0, 1.5][/tex] Crescente
[tex](1.5, 3][/tex] Decrescente
E' giusto? Se volessi risolvere l'esercizio senza grafico?
Grazie
P.S.: perchè se metto il link dell'immagine fra [ img ] e [ /img ] non me la visualizza?
ho appena iniziato il corso di Analisi e ho già qualche dubbio sulle funzioni composte e sul loro dominio.
Io ho capito che se ho due funzioni [tex]f(x)[/tex] e [tex]g(x)[/tex] per fare la composta [tex]g o f[/tex] applico prima [tex]f[/tex] a [tex]x[/tex] e poi [tex]g[/tex] a [tex]f(x)[/tex] quindi viene [tex]g(f(x))[/tex] mentre per fare [tex]f o g[/tex] faccio l'opposto cioè [tex]f(g(x))[/tex].
E per trovare il dominio di [tex]g o f[/tex] e [tex]f o g[/tex]?
Io farei il grafico di [tex]g(f(x))[/tex] e di [tex]f(g(x))[/tex] e poi guarderei sul disegno la soluzione ma penso che ci sia (anzi c'è) un metodo più veloce ed immediato e magari più corretto senza passare per il grafico. Bisogna guardare l'immagine di una funzione e vedere se.. booo, non ho capito bene
Ci sono casi in cui non è possibile fare [tex]g o f[/tex] e [tex]f o g[/tex]? Come si riconoscono?
Qualcuno potrebbe spiegarmelo in modo molto semplice?
Per esempio ho fatto quest'esercizio:
Siano date le funzioni [tex]f(x) =[/tex]$sqrt(x)$ e [tex]g(x) = 3x - x^2[/tex]. Determinare dominio ed intervalli di monotonia di [tex]g o f[/tex] e [tex]f o g[/tex]. Scrivere quindi le espressioni esplicite di [tex]g o f[/tex] e [tex]f o g[/tex].
L'ho risolto in questo modo:
[tex]g o f = g(f(x)) = g([/tex]$sqrt(x)$[tex]) = 3[/tex]$sqrt(x)$[tex]- ([/tex]$sqrt(x)$[tex])^2 = 3[/tex]$sqrt(x)$[tex]- x[/tex]
Il cui grafico è:
http://imageshack.us/photo/my-images/820/immagineotj.png
Da questo noto che il dominio di [tex]g o f[/tex] è: [tex][0, +\infty)[/tex]
Mentre gli intervalli di monotonia sono:
[tex][0, 2][/tex] Crescente
[tex](2, +\infty)[/tex] Decrescente
[tex]f o g = f(g(x)) = f(3x - x^2) =[/tex]$sqrt(3x - x^2)$
Il cui grafico è:
http://imageshack.us/photo/my-images/29/immagine1xia.png
Da questo noto che il dominio di [tex]f o g[/tex] è: [tex][0, 3][/tex]
Mentre gli intervalli di monotonia sono:
[tex][0, 1.5][/tex] Crescente
[tex](1.5, 3][/tex] Decrescente
E' giusto? Se volessi risolvere l'esercizio senza grafico?
Grazie
P.S.: perchè se metto il link dell'immagine fra [ img ] e [ /img ] non me la visualizza?
Risposte
Sono a digiuno di analisi da parecchio tempo...
Fatta questa premessa posso dirti che i tuoi ragionamenti mi sembrano corretti.
Personalemente preferisco sempre farmi il grafico, o al limite immaginarlo, perchè solo coi conti, basta una distrazione, che so? un segno dimenticato e cambia tutto, il grafico è un controllo!
Ad ogni modo ci sono funzioni il cui campo di esistenza è limitato: ad esempio il radicando deve essere > o = a 0, oppure l'argomento del logaritmo deve essere >0 eccetera, così ti trovi il dominio.
Poi ti potresti domandare se la tua funzione incontra mai l'asse delle x, e vedere se è sempre positiva, sempre negativa o se incontra l'asse delle x, quando è positiva e quando è negativa.
Per quanto riguarda la monotonia, credo si debba far ricorso alla derivata prima; la derivata ti dice come è inclinata la retta tangente alla funzione al variare di x: se la derivata prima è positiva la funzione è crescente, se è negativa è decrescente, se è 0 la tangente è parallela all'asse delle x (puoi avere un massimo, un minimo o un flesso orizzontale).
Spero di non aver detto cavolate!
Fatta questa premessa posso dirti che i tuoi ragionamenti mi sembrano corretti.
Personalemente preferisco sempre farmi il grafico, o al limite immaginarlo, perchè solo coi conti, basta una distrazione, che so? un segno dimenticato e cambia tutto, il grafico è un controllo!
Ad ogni modo ci sono funzioni il cui campo di esistenza è limitato: ad esempio il radicando deve essere > o = a 0, oppure l'argomento del logaritmo deve essere >0 eccetera, così ti trovi il dominio.
Poi ti potresti domandare se la tua funzione incontra mai l'asse delle x, e vedere se è sempre positiva, sempre negativa o se incontra l'asse delle x, quando è positiva e quando è negativa.
Per quanto riguarda la monotonia, credo si debba far ricorso alla derivata prima; la derivata ti dice come è inclinata la retta tangente alla funzione al variare di x: se la derivata prima è positiva la funzione è crescente, se è negativa è decrescente, se è 0 la tangente è parallela all'asse delle x (puoi avere un massimo, un minimo o un flesso orizzontale).
Spero di non aver detto cavolate!
Grazie mille per la risposta! [tex][/tex]
La derivata non l'abbiamo ancora fatta (anche se l'ho già fatta al liceo) quindi per ora preferisco stare al passo e non portarmi avanti "inutilmente".
Nonostante questo avrei ancora bisogno di aiuto..
Posto un esercizio svolto dal prof così forse riesco a spiegarmi meglio riguardo le cose che non ho capito e magari (lo spero tanto) qualcuno può aiutarmi maggiormente..
Date [tex]f(x) =[/tex] $sqrt(x)$ e [tex]g(x) = x^2[/tex], determinare [tex]g o f[/tex] e [tex]f o g[/tex].
Disegno il grafico di entrambe in modo tale da determinare dominio e immagine di ognuna.
Grafico di [tex]f(x)[/tex] http://www.analyzemath.com/Graphing/squ ... raph_1.gif
Grafico di [tex]g(x)[/tex] http://www.bbc.co.uk/schools/gcsebitesi ... aph_24.gif
[tex]dom[/tex] [tex]f = [0, + \infty)[/tex]
[tex]im[/tex] [tex]f = [0, + \infty)[/tex]
[tex]dom[/tex] [tex]g =[/tex]$RR$
[tex]im[/tex] [tex]g = [0, + \infty)[/tex]
1) [tex]g o f[/tex]
[tex]x \dashrightarrow[/tex] $sqrt(x)$ [tex]\dashrightarrow[/tex]
Qui non ho capito cosa fa. Non sta semplicemente facendo il calcolo ma sta considerando anche dominio e immagine, ma come?
[tex]dom[/tex] [tex](g o f) =[/tex][tex](x \geq 0 |[/tex] $sqrt(x)$ $in$ [tex]dom[/tex] [tex]g)[/tex]
Essendo $sqrt(x)$ $in$ [tex]dom[/tex] [tex]g)[/tex] sempre verificata viene:
[tex]dom[/tex] [tex](g o f) =[/tex][tex](x \geq 0 |[/tex] $sqrt(x)$ $in$ [tex]dom[/tex] [tex]g) = [0, + \infty[/tex]
Perchè?
Per la monotonia fa:
[tex][0, +\infty) = --- crescente---> [0, + \infty) ---crescente--->[/tex]
Fa il grafico http://kazur.altervista.org/articoli/ma ... eterzo.jpg (Il grafico non è esattamente questo perchè va presa solo la parte di retta positiva, non quella negativa!! Quindi verrebbe la bisettrice del I quadrante!)
E conclude così..
[tex]x \dashrightarrow[/tex] $sqrt(x)$ [tex]\dashrightarrow[/tex] $(sqrt(x))^2 = x$
Perchè? Non ho capito
2) [tex]f o g[/tex]
Lo schema è uguale al precedente.
Sto cercando di studiare volta per volta invece che fare tutto alla fine (o quasi) ma noto purtroppo che ho profonde lacune che mi piacerebbe tanto risolvere..
Grazie in anticipo..
La derivata non l'abbiamo ancora fatta (anche se l'ho già fatta al liceo) quindi per ora preferisco stare al passo e non portarmi avanti "inutilmente".
Nonostante questo avrei ancora bisogno di aiuto..
Posto un esercizio svolto dal prof così forse riesco a spiegarmi meglio riguardo le cose che non ho capito e magari (lo spero tanto) qualcuno può aiutarmi maggiormente..
Date [tex]f(x) =[/tex] $sqrt(x)$ e [tex]g(x) = x^2[/tex], determinare [tex]g o f[/tex] e [tex]f o g[/tex].
Disegno il grafico di entrambe in modo tale da determinare dominio e immagine di ognuna.
Grafico di [tex]f(x)[/tex] http://www.analyzemath.com/Graphing/squ ... raph_1.gif
Grafico di [tex]g(x)[/tex] http://www.bbc.co.uk/schools/gcsebitesi ... aph_24.gif
[tex]dom[/tex] [tex]f = [0, + \infty)[/tex]
[tex]im[/tex] [tex]f = [0, + \infty)[/tex]
[tex]dom[/tex] [tex]g =[/tex]$RR$
[tex]im[/tex] [tex]g = [0, + \infty)[/tex]
1) [tex]g o f[/tex]
[tex]x \dashrightarrow[/tex] $sqrt(x)$ [tex]\dashrightarrow[/tex]
Qui non ho capito cosa fa. Non sta semplicemente facendo il calcolo ma sta considerando anche dominio e immagine, ma come?
[tex]dom[/tex] [tex](g o f) =[/tex][tex](x \geq 0 |[/tex] $sqrt(x)$ $in$ [tex]dom[/tex] [tex]g)[/tex]
Essendo $sqrt(x)$ $in$ [tex]dom[/tex] [tex]g)[/tex] sempre verificata viene:
[tex]dom[/tex] [tex](g o f) =[/tex][tex](x \geq 0 |[/tex] $sqrt(x)$ $in$ [tex]dom[/tex] [tex]g) = [0, + \infty[/tex]
Perchè?
Per la monotonia fa:
[tex][0, +\infty) = --- crescente---> [0, + \infty) ---crescente--->[/tex]
Fa il grafico http://kazur.altervista.org/articoli/ma ... eterzo.jpg (Il grafico non è esattamente questo perchè va presa solo la parte di retta positiva, non quella negativa!! Quindi verrebbe la bisettrice del I quadrante!)
E conclude così..
[tex]x \dashrightarrow[/tex] $sqrt(x)$ [tex]\dashrightarrow[/tex] $(sqrt(x))^2 = x$
Perchè? Non ho capito
2) [tex]f o g[/tex]
Lo schema è uguale al precedente.
Sto cercando di studiare volta per volta invece che fare tutto alla fine (o quasi) ma noto purtroppo che ho profonde lacune che mi piacerebbe tanto risolvere..
Grazie in anticipo..
Non sono una fonte autorevole...
Per quanto riguarda la radice quadrata, si sa che ha due risultati uno positivo e uno negativo, ma quando studi le fuinzioni ne devi considerare solo uno, si assume quello positivo (altrimenti scrivi $-sqrtx$) perchè se ottieni due immagini per la stessa x, allora non hai più una funzione.
Per quanto riguarda la radice quadrata, si sa che ha due risultati uno positivo e uno negativo, ma quando studi le fuinzioni ne devi considerare solo uno, si assume quello positivo (altrimenti scrivi $-sqrtx$) perchè se ottieni due immagini per la stessa x, allora non hai più una funzione.
Nel punto 1...
In che senso "qui non ho capito cosa fa. Non sta semplicemente facendo il calcolo ma sta considerando anche dominio e immagine, ma come? " Il dominio di $g(x)=x^2$ è chiaramente tutto $RR$ mentre l'immagine si può dedurre in tanti modi.. ma tu conosci il grafico di $g(x)$ e sai che $text{Im(g)} in [0,+infty)$...Mentre per $f(x)=sqrt(x)$ devi imporre che l'argomento della radice sia $>=0$ quindi $text{dom(f)} in [0,+infty)$; l'immagine di $g(x)$ puoi ricavarla sempre dal grafico che conosci e sai che appartiene all'intervallo $[0,+infty]$
Quindi adesso possiamo calcolare $f$ $o$ $g$
Quindi dobbiamo calcolare $f(g(x))$, ovvero dobbiamo prendere $f$ e dove compare la x dobbiamo metterci $x^2$, quindi si ottiene $sqrt(x^2)$ che è uguale a $|x|$ che sicuramente sai disegnare
Mentre per calcolare $g$ $o$ $f$ dobbiamo fare $g(f(x))$ quindi $(sqrt(x))^2$
Il dominio di quella funzione è $[0,+infty)$ perché devi imporre l'argomento della radice $>=0$
A questo punto si conclude dicendo che $(sqrt(x))^2=x$ ricordando il dominio della funzione.. Quindi per questo si prende soltanto il grafico di $y=x$ su $[0,+infty]$.. ovviamente sai che $y=x$ è monotona crescente (strettamente) quindi anche la sua restrizione all'intervallo $[0,+infty]$ lo è
P.s Neanche io sono attendibile, quindi se risulto poco chiaro oppure c'è qualche errore mi fai solo un favore se mi correggi
In che senso "qui non ho capito cosa fa. Non sta semplicemente facendo il calcolo ma sta considerando anche dominio e immagine, ma come? " Il dominio di $g(x)=x^2$ è chiaramente tutto $RR$ mentre l'immagine si può dedurre in tanti modi.. ma tu conosci il grafico di $g(x)$ e sai che $text{Im(g)} in [0,+infty)$...Mentre per $f(x)=sqrt(x)$ devi imporre che l'argomento della radice sia $>=0$ quindi $text{dom(f)} in [0,+infty)$; l'immagine di $g(x)$ puoi ricavarla sempre dal grafico che conosci e sai che appartiene all'intervallo $[0,+infty]$
Quindi adesso possiamo calcolare $f$ $o$ $g$
Quindi dobbiamo calcolare $f(g(x))$, ovvero dobbiamo prendere $f$ e dove compare la x dobbiamo metterci $x^2$, quindi si ottiene $sqrt(x^2)$ che è uguale a $|x|$ che sicuramente sai disegnare
Mentre per calcolare $g$ $o$ $f$ dobbiamo fare $g(f(x))$ quindi $(sqrt(x))^2$
Il dominio di quella funzione è $[0,+infty)$ perché devi imporre l'argomento della radice $>=0$
A questo punto si conclude dicendo che $(sqrt(x))^2=x$ ricordando il dominio della funzione.. Quindi per questo si prende soltanto il grafico di $y=x$ su $[0,+infty]$.. ovviamente sai che $y=x$ è monotona crescente (strettamente) quindi anche la sua restrizione all'intervallo $[0,+infty]$ lo è
P.s Neanche io sono attendibile, quindi se risulto poco chiaro oppure c'è qualche errore mi fai solo un favore se mi correggi
Grazie a entrambi, ho capito un po' di piu' ma non proprio al 100%..non importa, grazie lo stesso!! 
"vfldj":
Grazie a entrambi, ho capito un po' di piu' ma non proprio al 100%..non importa, grazie lo stesso!!
cosa non ti torna?
In realtà mi torna sia il tuo ragionamento sia quello di gio73, solo che il prof svolge gli esercizi in modo più schematico e questo mi confonde -.-
Vorrei appunto avere una "regola" precisa..
Vorrei appunto avere una "regola" precisa..
Per determinare la composizione di funzioni ed il dominio di una funzione composta?
"Obidream":
Per determinare la composizione di funzioni ed il dominio di una funzione composta?
esatto
Si capisce molto bene con un esempio il metodo per calcolare la composta.. Prendiamo $f(x)=log(x)$ e $g(x)=sqrt(x)$
Cerchiamo di calcolare $f$ $o$ $g$ e $g$ $o$ $f$ cercando di determinare anche il dominio di queste 2 funzioni.
Adesso per fare $f$ $o$ $g$ devi prendere $f(x)$ ed al posto della x devi metterci $g(x)$ per ottenere la tua $f(g(x))$.. quindi
si ottiene una nuova funzione che chiamo $h(x)$ ed ottengo $h(x)=log(sqrt(x))$.. Adesso vediamo il dominio.. Ha senso calcolare il logaritmo di 0 o di un numero negativo? La risposta è no e si vede molto velocemente se ti tracci il grafico della funzione $log(x)$.. Quindi occorre imporre che l'argomento del logaritmo sia strettamente positivo quindi occorre risolvere la disequazione $g(x)>0$ ovvero $sqrt(x)>0$ da cui si ottiene che $x>0$.. quindi il dominio di $h(x)$ usando la notazione degli insieme è uguale a : $(0,+infty)$ ti lascio per esercizio $g$ $o$ $f$
Cerchiamo di calcolare $f$ $o$ $g$ e $g$ $o$ $f$ cercando di determinare anche il dominio di queste 2 funzioni.
Adesso per fare $f$ $o$ $g$ devi prendere $f(x)$ ed al posto della x devi metterci $g(x)$ per ottenere la tua $f(g(x))$.. quindi
si ottiene una nuova funzione che chiamo $h(x)$ ed ottengo $h(x)=log(sqrt(x))$.. Adesso vediamo il dominio.. Ha senso calcolare il logaritmo di 0 o di un numero negativo? La risposta è no e si vede molto velocemente se ti tracci il grafico della funzione $log(x)$.. Quindi occorre imporre che l'argomento del logaritmo sia strettamente positivo quindi occorre risolvere la disequazione $g(x)>0$ ovvero $sqrt(x)>0$ da cui si ottiene che $x>0$.. quindi il dominio di $h(x)$ usando la notazione degli insieme è uguale a : $(0,+infty)$
ti lascio per esercizio $g$ $o$ $f$
[tex][/tex]
[tex]g o f = g(f(x)) = g(log(x)) =[/tex] $sqrt(log(x))$
L'argomento del logaritmo dev'essere maggiore di [tex]0[/tex] e quello sotto radice dev'essere maggiore o uguale a [tex]0[/tex] perciò metto in sistema [tex]x > 0[/tex] e [tex]x \geq 0[/tex]. (In pratica faccio le condizioni di esistenza di [tex]g o f[/tex]. Mettere in sistema è giusto?)
Quindi [tex]dom[/tex] [tex]g o f = (0, + \infty)[/tex]
Più o meno corretto?
[tex]g o f = g(f(x)) = g(log(x)) =[/tex] $sqrt(log(x))$
L'argomento del logaritmo dev'essere maggiore di [tex]0[/tex] e quello sotto radice dev'essere maggiore o uguale a [tex]0[/tex] perciò metto in sistema [tex]x > 0[/tex] e [tex]x \geq 0[/tex]. (In pratica faccio le condizioni di esistenza di [tex]g o f[/tex]. Mettere in sistema è giusto?)
Quindi [tex]dom[/tex] [tex]g o f = (0, + \infty)[/tex]
Più o meno corretto?
"vfldj":
[tex][/tex]
[tex]g o f = g(f(x)) = g(log(x)) =[/tex] $sqrt(log(x))$
Questa parte si
Dunque il dominio di $sqrt(x)$ si trova ponendo l'argomento della radice $>=0$ quindi $x>=0$ da cui segue che il dominio è $[0,+infty]$.. ma nel tuo caso al posto della $x$ hai $log(x)$ quindi devi risolvere $log(x)>=0$
aaah ok..Penso di aver capito finalmente 
Grazie mille
Grazie mille
Di niente, diventerà una cosa talmente automatica che riuscirai a farlo senza pensarci troppo su
Lo spero
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