Funzioni \( C^\infty \) in un punto
Ho appena letto la definizione di funzione liscia in un punto di una varietà differenziabile, ma c'è una cosa che non mi quadra molto.
Presa una varietà liscia \( M \) e un punto \( p\in M \), il libro dice che una funzione \( f\colon M\to \mathbb R \) è di classe \( C^\infty \) se esiste una carta \( (U,\phi\colon U\to V\subset \mathbb R^n) \), dove \( U \) è un aperto di \( M \) tale che \( p\in U \), tale che la funzione \( f\circ \phi^{-1}\colon V\to \mathbb R \) sia \( C^\infty \) in \( \phi(p) \).
C'è un problema: io so cosa vuol dire che una funzione tra spazi \( \mathbb R^n \) è \( C^\infty \) su un aperto; non so bene che cosa si intenda quando di dice che una funzione è \( C^\infty \) in un punto. Che cosa vuol dire?
Giusto per essere chiari, dico che per me una funzione \( f\colon A\to \mathbb R^m \), dove \( A\subset \mathbb R^n \) è un aperto, è [un elemento di] \( C^\infty(A,\mathbb R^m) \) se \( f \) è differenziabile \( k \) volte con continuità su tutto \( A \) per ogni \( k\in \mathbb N \). Questo è equivalente a chiedere che le derivate parziali
\[
\frac{\partial^k f_i}{\partial x_{j_k}\cdots x_{j_1}}\colon A\to \mathbb R
\] esistano tutte e siano continue.
Presa una varietà liscia \( M \) e un punto \( p\in M \), il libro dice che una funzione \( f\colon M\to \mathbb R \) è di classe \( C^\infty \) se esiste una carta \( (U,\phi\colon U\to V\subset \mathbb R^n) \), dove \( U \) è un aperto di \( M \) tale che \( p\in U \), tale che la funzione \( f\circ \phi^{-1}\colon V\to \mathbb R \) sia \( C^\infty \) in \( \phi(p) \).
C'è un problema: io so cosa vuol dire che una funzione tra spazi \( \mathbb R^n \) è \( C^\infty \) su un aperto; non so bene che cosa si intenda quando di dice che una funzione è \( C^\infty \) in un punto. Che cosa vuol dire?
Giusto per essere chiari, dico che per me una funzione \( f\colon A\to \mathbb R^m \), dove \( A\subset \mathbb R^n \) è un aperto, è [un elemento di] \( C^\infty(A,\mathbb R^m) \) se \( f \) è differenziabile \( k \) volte con continuità su tutto \( A \) per ogni \( k\in \mathbb N \). Questo è equivalente a chiedere che le derivate parziali
\[
\frac{\partial^k f_i}{\partial x_{j_k}\cdots x_{j_1}}\colon A\to \mathbb R
\] esistano tutte e siano continue.
Risposte
Ciao, la nozione di differenziabilità in un punto ha senso, anzi, si parte proprio con il definire cosa significa che una funzione è differenziabile in un punto, in particolare lo sarà se esiste lo sviluppo di taylor al primo ordine centrato nel punto, poi se la funzione è differenziabile in ogni punto dell'aperto allora si dice che è differenziabile su tutto l'aperto. In conclusione ha dunque senso dire che f è differenziabile k volte in in un punto per ogni k.
Se \( f\colon A\subset \mathbb R^n\to \mathbb R^m \) è la funzione, dove \( A \) è un aperto, allora ha senso dire che \( f \) è differenziabile due volte in un \( a\in A \): significa (per me) che \( f \) è differenziabile una volta in un intorno \( U \) di \( a \), e che la funzione \( Df\colon U\to \hom_{\mathbb R}(\mathbb R^n,\mathbb R^m) \) che spara \( x\in U \) nel differenziale \( Df(x)\colon \mathbb R^n\to \mathbb R^m \) di \( f \) calcolato in \( a \) è a sua volta differenziabile in \( a \).
Il problema però non è questo: "\( C^2 \) su \( A \)" significa (per me) che 1) \( f \) è differenziabile su tutto \( A \); 2) che la funzione \( Df\colon A\to \hom_{\mathbb R}(\mathbb R^n,\mathbb R^m) \) è differenziabile su tutto \( A \); 3) che la funzione
\[
D(Df)\colon A\to \hom_{\mathbb R}(\mathbb R^n,\hom_{\mathbb R}(\mathbb R^n,\mathbb R^m))
\] che spara un \( x\in A \) nel differenziale \( D(Df)(a)\colon \mathbb R^n\to \hom_{\mathbb R}(\mathbb R^n,\mathbb R^m) \) della funzione \( Df \) è continua su tutto \( A \).
Nella definizione di funzione differenziabile due volte in \( a\in A \) non ha proprio senso parlare della funzione "differenziale del differenziale" \( D(Df) \), perché sappiamo solo che esiste \( D(Df)(a) \), e non \( D(Df)(x) \) per \( x \) vicino ad \( a \). Quindi non ha senso dire che questa funzione è continua (e "\( C^2 \)" significa appunto "differenziabile due volte con continuità").
---
Mi è venuto in mente che forse c'è un modo più cervellotico per interpretare la cosa. Possiamo dire che \( f \) è "\( C^2 \) in \( a \)" se 1) \( f \) è differenziabile in un intorno \( U \) di \( a \); 2) la funzione \( Df\colon A\to \hom_{\mathbb R}(\mathbb R^n,\mathbb R^m) \) è differenziabile in un intorno \( U^\prime \) di \( a \); 3) la funzione
\[
D(Df)\colon U^\prime\to \hom_{\mathbb R}(\mathbb R^n,\hom_{\mathbb R}(\mathbb R^n,\mathbb R^m))
\] è continua in \( a \).
Ma in questo caso è vero che se \( f \) è \( C^2 \) in \( a \) per ogni \( a\in A \) allora \( f \) è \( C^2 \) su tutto \( A \) nel senso precedente?
Il problema però non è questo: "\( C^2 \) su \( A \)" significa (per me) che 1) \( f \) è differenziabile su tutto \( A \); 2) che la funzione \( Df\colon A\to \hom_{\mathbb R}(\mathbb R^n,\mathbb R^m) \) è differenziabile su tutto \( A \); 3) che la funzione
\[
D(Df)\colon A\to \hom_{\mathbb R}(\mathbb R^n,\hom_{\mathbb R}(\mathbb R^n,\mathbb R^m))
\] che spara un \( x\in A \) nel differenziale \( D(Df)(a)\colon \mathbb R^n\to \hom_{\mathbb R}(\mathbb R^n,\mathbb R^m) \) della funzione \( Df \) è continua su tutto \( A \).
Nella definizione di funzione differenziabile due volte in \( a\in A \) non ha proprio senso parlare della funzione "differenziale del differenziale" \( D(Df) \), perché sappiamo solo che esiste \( D(Df)(a) \), e non \( D(Df)(x) \) per \( x \) vicino ad \( a \). Quindi non ha senso dire che questa funzione è continua (e "\( C^2 \)" significa appunto "differenziabile due volte con continuità").
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Mi è venuto in mente che forse c'è un modo più cervellotico per interpretare la cosa. Possiamo dire che \( f \) è "\( C^2 \) in \( a \)" se 1) \( f \) è differenziabile in un intorno \( U \) di \( a \); 2) la funzione \( Df\colon A\to \hom_{\mathbb R}(\mathbb R^n,\mathbb R^m) \) è differenziabile in un intorno \( U^\prime \) di \( a \); 3) la funzione
\[
D(Df)\colon U^\prime\to \hom_{\mathbb R}(\mathbb R^n,\hom_{\mathbb R}(\mathbb R^n,\mathbb R^m))
\] è continua in \( a \).
Ma in questo caso è vero che se \( f \) è \( C^2 \) in \( a \) per ogni \( a\in A \) allora \( f \) è \( C^2 \) su tutto \( A \) nel senso precedente?
"marco2132k":
Ma in questo caso è vero che se \( f \) è \( C^2 \) in \( a \) per ogni \( a\in A \) allora \( f \) è \( C^2 \) su tutto \( A \) nel senso precedente?
Mi rispondo da solo per le funzioni \( C^1 \); il resto segue. Sì che è vero: per ogni \( a\in A \) c'è un intorno \( U_a \) dove \( f \) è differenziabile. Al variare di \( a\in A \) gli \( U_a \) ricoprono \( A \). Praticamente la tesi si può far seguire costruendo \( Df\colon A\to \hom() \) "incollando" le \( Df \) definite sugli \( U_a \).
È una definizione che ha sempre lasciato perplesso anche me, e inoltre non credo sia molto utile in geometria differenziale. Alla fine si fa tutto con funzioni globalmente \(C^\infty\).
Sì è la stessa cosa che ha detto anche il mio prof di analisi. (Tra l'altro due righe dopo il Tu -cioè il libro da cui sto leggendo- dice anche lui che è interessato solo a funzioni che sono \( C^\infty \) su un intero aperto).
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