Funzioni biunivoche

[paolo.papadia]

questi due me li hanno posti a scuola,non sono difficilissimi ma nemmeno banali.(il secondo in particolare lho trovato molto carino)

1)esplicitare una funzione biunivoca da R in R che sia continua in tutti i suoi punti tranne uno.(cioè f ha uno e un unico punto di discontinuità)


2)esplicitare una funzione biunivoca da [0,1] a (0,1)

NB: con "esplicitare" non intendo dire che dovete dimostrarne l'esistenza o simile,dovete proprio costruire la funzione,esplicitare l'immagine di ogni punto del dominio.

[Seneca1]

Non capisco se è da intendersi come scambio culturale o come esercizio che non sai svolgere...

[yellow2]

Penso come scambio.

1) $f(x)=\{(1/x, x\ne0), (0, x=0):}$
Era facile, ma non l'avevo mai notata come proprietà e ci ho messo un minimo.

[paolo.papadia]

confermo come scambio(anche se ovviamente non potrai mai sapere se sto mentendo XD)
bravo yellow,come vedi non è difficilissima,solo che non viene in mente in fretta..anche l'altra è cosi,la costruzione è molto semplice,il difficile è farsela venire in mente

[yellow2]

Beh alla prima ci si arrivava perché i punti di discontinuità possono essere solo di tre tipi, e si capisce subito che con queste condizioni il tipo deve essere quello "limite destro e sinistro esistenti ma diversi".
Per la seconda così a occhio non mi viene in mente niente e non ho nemmeno questo espediente.

[Seneca1]

Neanche a me è venuto in mente niente.

Si può dire che se la funzione fosse continua, l'immagine dovrebbe essere un chiuso (Weierstrass).

Ora che ci penso non può neanche trattarsi di una funzione monotona, perché se $f : I -> RR$ fosse monotona, poiché $f(I)$ è un intervallo, allora la $f$ sarebbe necessariamente continua, ciò che non può aversi, per le considerazioni di prima...

Quindi una siffatta funzione è da ricercarsi tra le funzioni $f : [ 0, 1 ] -> ] 0 , 1 [$ discontinue, non monotone e che sono biunivoche.

[Rigel1]

Un aiuto per chi volesse cimentarsi:
una costruzione standard consiste nel mappare l'insieme numerabile $D = \{0,1\}\cup\{1/2, 1/3, \ldots\}$ biiettivamente in $\{1/2, 1/3, \ldots\}$ (cosa non difficile...), e mappare i punti di $[0,1]\setminus D$ in se stessi.

[Ulyx3s]

prima di leggere le riflessioni di Seneca (lol) avevo pensato:

se f fosse continua (e biettiva), allora essendo nella topologia euclidea anche l inversa sarebbe stata continua (giusto?), quindi f era un omeomorfismo tra $[0,1]$ e $(0,1)$ che è assurdo.

detto ciò, grazie al consiglio di Rigel proporrei..

$A={1/n : n in NN } uu {0,1 }$

quindi,

$f(x)={ ( x !in A rArr x),( x in A rArr{ ( x=0 rArr 1/2),( x=1 rArr 1/3 ),( altrimenti rArr 1/(x+2) ):} ):}

$


EDIT: correzione.

[mathbells]

"Ulyx3s":

...detto ciò, grazie al consiglio di Rigel proporrei..

va tutto bene ma, a parte qualche errore di formattazione, l'ultima funzione dovrebbe essere:

\(\displaystyle \frac{1}{\frac{1}{x}+2} \)