Funzioni asintotiche e intorno destro.
Ciao a tutti, questo è un esercizio da un mio tema d'esame che ho pochissime idee su come farlo.
Dimostrare o confutare
Siano \(\displaystyle f,g:(0,+\infty)\rightarrow \mathbb{R} \) due funzioni tali che \(\displaystyle f(x)\sim g(x) \) per \(\displaystyle x\rightarrow 0^+ \) e \(\displaystyle f(x)\rightarrow -\infty \) per \(\displaystyle x\rightarrow 0^+ \). Se esiste un intorno (destro) di 0 su cui f è strettamente crescente, allora esiste un intorno (destro) di 0 su cui g è strettamente crescente
Svolgimento
una mia prima idea è stata di scrivere la definizione di asintotico, cioè \(\displaystyle f(x)\sim g(x) \Leftrightarrow \lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=1 \)
poi il testo dice che \(\displaystyle f(x)\rightarrow -\infty \) per \(\displaystyle x\rightarrow 0^+ \), ma la funzione \(\displaystyle g(x) \) come si comporta? Non credo che anche \(\displaystyle g(x) \) vada a \(\displaystyle -\infty \) xkè sennò si avrebbe un caso di indecisione!
Però per la funzione \(\displaystyle f(x) \) ho pensato a \(\displaystyle f(x)=\ln (x)\rightarrow -\infty \) per \(\displaystyle x\rightarrow0^+ \)
Ma non so sempre come fare con \(\displaystyle g(x) \), e poi va bé il logaritmo è un caso.. il testo dice in linea generale!
Dimostrare o confutare
Siano \(\displaystyle f,g:(0,+\infty)\rightarrow \mathbb{R} \) due funzioni tali che \(\displaystyle f(x)\sim g(x) \) per \(\displaystyle x\rightarrow 0^+ \) e \(\displaystyle f(x)\rightarrow -\infty \) per \(\displaystyle x\rightarrow 0^+ \). Se esiste un intorno (destro) di 0 su cui f è strettamente crescente, allora esiste un intorno (destro) di 0 su cui g è strettamente crescente
Svolgimento
una mia prima idea è stata di scrivere la definizione di asintotico, cioè \(\displaystyle f(x)\sim g(x) \Leftrightarrow \lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=1 \)
poi il testo dice che \(\displaystyle f(x)\rightarrow -\infty \) per \(\displaystyle x\rightarrow 0^+ \), ma la funzione \(\displaystyle g(x) \) come si comporta? Non credo che anche \(\displaystyle g(x) \) vada a \(\displaystyle -\infty \) xkè sennò si avrebbe un caso di indecisione!
Però per la funzione \(\displaystyle f(x) \) ho pensato a \(\displaystyle f(x)=\ln (x)\rightarrow -\infty \) per \(\displaystyle x\rightarrow0^+ \)
Ma non so sempre come fare con \(\displaystyle g(x) \), e poi va bé il logaritmo è un caso.. il testo dice in linea generale!
Risposte
poi il testo dice che $f(x) \to -\infty$ per $x \to 0^+$, ma la funzione $g(x)$ come si comporta? Non credo che anche $g(x)$ vada a $-\infty$ xkè sennò si avrebbe un caso di indecisione!
Ciao. Questa è una boiata
Pensa ad esempio alle funzioni $f(x)=\log x$ e $g(x)=\log (x)+1$, che per $x \to 0^+$ vanno entrambe a $-infty$. Eppure se calcoli\[\lim_{x\to 0^+} \dfrac{f(x)}{g(x)}=1\]
quindi il fatto che inizialmente tu possa trovare una "forma d'indecisione" non conta nulla. E a parte questo, $g(x)$ nel tuo caso può andare SOLO a $-\infty$, perchè per $x\to 0^+$ le due funzioni devono avere lo stesso "comportamento": non per niente il simbolo $ \sim$ viene letto come "si comporta come..." (oltre che "è asintotico di...")
Per il resto, non ci sono altre ipotesi sulle funzioni $f$ e $g$?
"Plepp":poi il testo dice che $f(x) \to -\infty$ per $x \to 0^+$, ma la funzione $g(x)$ come si comporta? Non credo che anche $g(x)$ vada a $-\infty$ xkè sennò si avrebbe un caso di indecisione!
Ciao. Questa è una boiata
\[\lim_{x\to 0^+} \dfrac{f(x)}{g(x)}=1\]
quindi il fatto che inizialmente tu possa trovare una "forma d'indecisione" non conta nulla. E a parte questo, $g(x)$ nel tuo caso può andare SOLO a $-\infty$, perchè per $x\to 0^+$ le due funzioni devono avere lo stesso "comportamento": non per niente il simbolo $\widetilde$ viene letto come "si comporta come..." (oltre che "è asintotico di...")
Per il resto, non ci sono altre ipotesi sulle funzioni $f$ e $g$?
Non capisco quello che hai scritto $\widetilde$
Poi allora si conclude l'esercizio con il tuo esempio che hai fatto, e dicendo che SI esiste 1 intorno destro di 0 su cui g è crescente. Esatto?.. ovviamente mostrando il tuo esempio
ESATTO?..
Invece di "widetilde", meglio usare \sim: \(\sim\).
@21zuclo: Ho eliminato "Aiuto" dal titolo e anche "AIUTATEMI PER FAVORE" in grassetto e maiuscolo dal post originale. Non occorre richiamare così l'attenzione e qui è considerato anche poco educato. Finisce per allontanare gli utenti invece di attirarli, quindi meglio farne a meno.
@21zuclo: Ho eliminato "Aiuto" dal titolo e anche "AIUTATEMI PER FAVORE" in grassetto e maiuscolo dal post originale. Non occorre richiamare così l'attenzione e qui è considerato anche poco educato. Finisce per allontanare gli utenti invece di attirarli, quindi meglio farne a meno.
"dissonance":
Invece di "widetilde", meglio usare \sim: \(\sim\).
@21zuclo: Ho eliminato "Aiuto" dal titolo e anche "AIUTATEMI PER FAVORE" in grassetto e maiuscolo dal post originale. Non occorre richiamare così l'attenzione e qui è considerato anche poco educato. Finisce per allontanare gli utenti invece di attirarli, quindi meglio farne a meno.
ah ok grazie dissonance..
Cmq riguardo all'esercizio..che altri esempi si possono fare? Perchè ok il logaritmo, ma il quesito dice in generale.. che cosa si può utilizzare?..
cioè posso anche fare questo \(\displaystyle f(x)=\ln (1+x) \) e \(\displaystyle g(x)=x \) e il loro limite \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow0^+}\frac{\ln(1+x)}{x}=1 \)
Posso farlo?
@Zuclo:
Ciao!
A me sembra che tu stia continuando a prendere in esame funzioni non in linea con le tue ipotesi di base..
A tal proposito voglio intanto farti notare come dica bene Plepp,quando afferma che certamente $EElim_(x->0^+)g(x)=-oo$:
una ragione intuitiva è quella che t'ha esposto lui,
mentre una formale è che,
osservato come f(x) debba obbligatoriamente essere non nulla in un opportuno intorno destro di 0
(altrimenti violeresti il teorema della permanenza del segno generalizzato,
perchè non sarebbe possibile ad esempio trovare un opportuno intorno destro di 0 $I$ t.c $(f(x))/(g(x))>1/2$ $AAx$$inI$..),
potremo dire che $EElim_(x->0^+)(g(x))/(f(x))=1/1=1$^$EElim_(x->0^+)f(x)=-oo$(Hp)$rArrEElim_(x->0^+)(g(x))/(f(x))f(x)=-oorArrEElim_(x->0^+)g(x)=-oo$.
Ciò detto osserva come,se f,g soddisfecessero le ipotesi del Teorema di De L'Hospital,
sarebbe abbastanza comodo verificare che la tesi sarebbe vera,
usando il criterio della permanenza del segno su $f'/g'$ e qualche considerazione sul segno delle derivate prime:
se allora vogliamo ricercare un controesempio che la invalidi,non dovremmo certo farlo tra funzioni "cui siamo abituati"
(più avanti negli studi le chiamerai meglio,ma ci siamo capiti
!)..
Buona caccia
(sperando che almeno un buon fungo ci sia,nascosto in qualche luogo apparentemente impensabile,
nel nostro grande e bel bosco del quale sappiamo che molti alberi non vanno attenzionati..):
saluti dal web.
Ciao!
A me sembra che tu stia continuando a prendere in esame funzioni non in linea con le tue ipotesi di base..
A tal proposito voglio intanto farti notare come dica bene Plepp,quando afferma che certamente $EElim_(x->0^+)g(x)=-oo$:
una ragione intuitiva è quella che t'ha esposto lui,
mentre una formale è che,
osservato come f(x) debba obbligatoriamente essere non nulla in un opportuno intorno destro di 0
(altrimenti violeresti il teorema della permanenza del segno generalizzato,
perchè non sarebbe possibile ad esempio trovare un opportuno intorno destro di 0 $I$ t.c $(f(x))/(g(x))>1/2$ $AAx$$inI$..),
potremo dire che $EElim_(x->0^+)(g(x))/(f(x))=1/1=1$^$EElim_(x->0^+)f(x)=-oo$(Hp)$rArrEElim_(x->0^+)(g(x))/(f(x))f(x)=-oorArrEElim_(x->0^+)g(x)=-oo$.
Ciò detto osserva come,se f,g soddisfecessero le ipotesi del Teorema di De L'Hospital,
sarebbe abbastanza comodo verificare che la tesi sarebbe vera,
usando il criterio della permanenza del segno su $f'/g'$ e qualche considerazione sul segno delle derivate prime:
se allora vogliamo ricercare un controesempio che la invalidi,non dovremmo certo farlo tra funzioni "cui siamo abituati"
(più avanti negli studi le chiamerai meglio,ma ci siamo capiti
!)..Buona caccia
(sperando che almeno un buon fungo ci sia,nascosto in qualche luogo apparentemente impensabile,
nel nostro grande e bel bosco del quale sappiamo che molti alberi non vanno attenzionati..):
saluti dal web.
il teorema de Hopital sì so di cosa si tratta, ma in questo caso NON so se lo posso utilizzare! Xkè noi in analisi 1 non l'abbiamo fatto! Qui noi ci siamo fermati alle funzioni continue.. Il teorema dell'Hopital è in Analisi 2.. ma questo teorema lo so..
il teorema de Hopital dice che quando ho i casi di indecisione il \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)}=\lambda \in \mathbb{R} \)
Ma qui in non lo posso utilizzare!.. mi sa che c'è solamente come esempio quello che ha fatto Plepp..
altrimenti non so come si faccia a dimostrare in 1 caso generale!..
il teorema de Hopital dice che quando ho i casi di indecisione il \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)}=\lambda \in \mathbb{R} \)
Ma qui in non lo posso utilizzare!.. mi sa che c'è solamente come esempio quello che ha fatto Plepp..
altrimenti non so come si faccia a dimostrare in 1 caso generale!..
@dissonance: si scusami 
ho corretto...a volte mi confondo con comandi LaTeX "simili" 
Quanto all'esercizio...mi sono incuriosito anch'io! Tra i miei appunti non trovo nulla che possa provare o smentire l'enunciato, se non qualcosa d'intuitivo che ho già esposto...
Siamo sicuri che non occorrano altre ipotesi sulle funzioni in questione??
@theras:
???
ho corretto...a volte mi confondo con comandi LaTeX "simili" Quanto all'esercizio...mi sono incuriosito anch'io! Tra i miei appunti non trovo nulla che possa provare o smentire l'enunciato, se non qualcosa d'intuitivo che ho già esposto...
Siamo sicuri che non occorrano altre ipotesi sulle funzioni in questione??
@theras:
potremo dire che...
???
"Plepp":
@dissonance: si scusami
Quanto all'esercizio...mi sono incuriosito anch'io! Tra i miei appunti non trovo nulla che possa provare o smentire l'enunciato, se non qualcosa d'intuitivo che ho già esposto...
Siamo sicuri che non occorrano altre ipotesi sulle funzioni in questione??
@theras:
potremo dire che...
???
@ Plepp
con altre ipotesi cosa intendi?.. il testo dell'esercizio è quello che ho scritto!..
"Plepp":
@theras:
potremo dire che...
???
..che $g/f$ è certo ben definita in un opportuno intorno destro di 0,
nel quale è dunque lecito passare al limite ed osservare che esso è il reciproco del limite di f/g ed è dunque uguale ad 1/1=1
(stò solo rispettando il formalismo,non mancando di rispetto a te
);avendosi poi per ipotesi che f diverge negativamente in $0^+$,la stessa cosa accadrà pertanto al prodotto tra essa e $g/f$
(infatti tale rapporto è convergente ad 1>0):
dunque $EElim_(x->o^+)(g/f)(x)f(x)=-oo$ ed in conclusione $EElim_(x->o^+)g(x)=-oo$,
come tu avevi giustamente intuito!
Saluti dal web.
P.S.Per trovare un controesempio dovrebbe bastare costruire una g che,in un'infinità numerabile di punti del suo dominio,
abbassi d'improvviso la sua quota per poi rialzarla "subito dopo",
e che abbia divergente negativamente la restrizione ai rimanenti punti del suo dominio
(tale insieme differenza avrà la potenza del continuo..):
poi,se necessario,sistemeremo pure la f in modo che resti asintoticamente equivalente a g ed in accordo con l'ipotesi di crescenza.
Saluti dal web.
"theras":
[quote="Plepp"]
@theras:
potremo dire che...
???
..che $g/f$ è certo ben definita in un opportuno intorno destro di 0,
nel quale è dunque lecito passare al limite ed osservare che esso è il reciproco del limite di f/g ed è dunque uguale ad 1/1=1
(stò solo rispettando il formalismo,non mancando di rispetto a te
);avendosi poi per ipotesi che f diverge negativamente in $0^+$,la stessa cosa accadrà pertanto al prodotto tra essa e $g/f$
(infatti tale rapporto è convergente ad 1>0):
dunque $EElim_(x->o^+)(g/f)(x)f(x)=-oo$ ed in conclusione $EElim_(x->o^+)g(x)=-oo$,
come tu avevi giustamente intuito!
Saluti dal web.
P.S.Per trovare un controesempio dovrebbe bastare costruire una g che,in un'infinità numerabile di punti del suo dominio,
abbassi d'improvviso la sua quota per poi rialzarla "subito dopo",
e che abbia divergente negativamente la restrizione ai rimanenti punti del suo dominio
(tale insieme differenza avrà la potenza del continuo..):
poi,se necessario,sistemeremo pure la f in modo che resti asintoticamente equivalente a g ed in accordo con l'ipotesi di crescenza.
Saluti dal web.[/quote]
bé allora per farla preve..concludo, cioè faccio l'esempio che ha fatto plepp all'inizio!.. non dovrei sbagliare così!..
ma è esatto vero?..a vista d'occhio mi sembra di sì..cioè \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow0^+}\frac{\ln x}{\ln (x)+1}\sim \frac{\ln x}{\ln x}=1 \)
è esatto vero?..
@theras
Aaah! Ora capisco avevo semplicemente confuso il " ^ " ,a cui hai attribuito il significato di "and" logico (suppongo), con l'elevamento a potenza! Cmq non era quello il mio problema, là ci ero arrivato, avevo "omesso le formalità" Grazie cmq
Ora mi par di capire anche il resto del tuo discorso! Vuoi dire dunque che sono necessarie altre ipotesi per verificare/smentire l'enunciato?! Come ad esempio che siano soddisfatte le ipotesi del teorema di De l'Hopital
per $f$ e $g$...
@21zuclo
Un semplice esempio non ti permette di dimostrare l'enunciato
Aaah! Ora capisco
avevo semplicemente confuso il " ^ " ,a cui hai attribuito il significato di "and" logico (suppongo), con l'elevamento a potenza! Cmq non era quello il mio problema, là ci ero arrivato, avevo "omesso le formalità" Grazie cmq "theras":
Ciò detto osserva come,se f,g soddisfecessero le ipotesi del Teorema di De L'Hospital,
sarebbe abbastanza comodo verificare che la tesi sarebbe vera...
Ora mi par di capire anche il resto del tuo discorso!
Vuoi dire dunque che sono necessarie altre ipotesi per verificare/smentire l'enunciato?! Come ad esempio che siano soddisfatte le ipotesi del teorema di De l'Hopital per $f$ e $g$...
@21zuclo
Un semplice esempio non ti permette di dimostrare l'enunciato
infatti bisognerebbe fare 1 contro esempio..e theras mi dice "che g,in un'infinità numerabile di punti del suo dominio"
l'ha scritto in un suo post precedente.. Però non ho nessuna idea..
.. in pratica nn so come possa fare!..datemi una mano..per favore..
Hopital non lo posso usare..l'ho già scritto precedentemente il motivo!
bisogna trovare una strada alternativa!..
l'ha scritto in un suo post precedente.. Però non ho nessuna idea..
.. in pratica nn so come possa fare!..datemi una mano..per favore..Hopital non lo posso usare..l'ho già scritto precedentemente il motivo!
bisogna trovare una strada alternativa!..
"Plepp":
@theras
Aaah! Ora capisco
[quote="theras"]Ciò detto osserva come,se f,g soddisfecessero le ipotesi del Teorema di De L'Hospital,
sarebbe abbastanza comodo verificare che la tesi sarebbe vera...
Ora mi par di capire anche il resto del tuo discorso!
Vuoi dire dunque che sono necessarie altre ipotesi per verificare/smentire l'enunciato?! Come ad esempio che siano soddisfatte le ipotesi del teorema di De l'Hopital per $f$ e $g$...
@21zuclo
Un semplice esempio non ti permette di dimostrare l'enunciato
[/quote]ora mi è venuto in mente sto esempio..ditemi se può funzionare e se l'idea è buona
\(\displaystyle f(x)=-\frac{1}{|x|} \) e \(\displaystyle g(x)= -\frac{1}{|x|}+x\)
ora faccio il loro limite
\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow0^+}\frac{-\frac{1}{|x|}}{-\frac{1}{|x|}+x}\sim \frac{-\frac{1}{|x|}}{-\frac{1}{|x|}}=1 \)
può andare bene?..
Non ci siamo capiti allora puoi fare quanti esempi ti pare, ma questo non ti aiuterà a risolvere l'esercizio! Devi fare un ragionamento formale per dimostrare l'enunciato, mentre ti basterebbe un controesempio per confutarlo...
puoi fare quanti esempi ti pare, ma questo non ti aiuterà a risolvere l'esercizio! Devi fare un ragionamento formale per dimostrare l'enunciato, mentre ti basterebbe un controesempio per confutarlo...
"Plepp":
Non ci siamo capiti allora
solo che 1 controesempio non mi viene in mente. Dammi una mano x favore XD..
Aiutatemi a trovare 1 controesempio per favore...
Mi sa tanto che il controesempio non riuscirai a trovarlo (o almeno, come dice theras, tra le funzioni elementari)...tuttavia non riesco a pensare a come dimostrare l'enunciato, che evidentemente dice qualcosa di veritiero...sarà sicuramente una stron**** ma non mi viene in mente
Quel che dovresti provare è che se $f$ va a $-\infty$ per $x$ che va a $0^+$, allora esiste un intorno destro di $0$ nel quale $f$ è strettamente crescente, cosa che intuitivamente/banalmente è vera, ma cosi su due piedi non riesco a pensare a un modo per dimostrarla in maniera formale.
In ogni caso, una volta fatto questo, dato che anche $g$ va a $-\infty$ in virtù del fatto che $f\sim g$, è automaticamente verificato che anche $g$ è strettamente crescente in un intorno destro di $0$, che è quello che ti viene chiesto di dimostrare.
Quel che dovresti provare è che se $f$ va a $-\infty$ per $x$ che va a $0^+$, allora esiste un intorno destro di $0$ nel quale $f$ è strettamente crescente, cosa che intuitivamente/banalmente è vera, ma cosi su due piedi non riesco a pensare a un modo per dimostrarla in maniera formale.
In ogni caso, una volta fatto questo, dato che anche $g$ va a $-\infty$ in virtù del fatto che $f\sim g$, è automaticamente verificato che anche $g$ è strettamente crescente in un intorno destro di $0$, che è quello che ti viene chiesto di dimostrare.
"Plepp":
Mi sa tanto che il controesempio non riuscirai a trovarlo (o almeno, come dice theras, tra le funzioni elementari)...tuttavia non riesco a pensare a come dimostrare l'enunciato, che evidentemente dice qualcosa di veritiero...sarà sicuramente una stron**** ma non mi viene in mente
Quel che dovresti provare è che se $f$ va a $-\infty$ per $x$ che va a $0^+$, allora esiste un intorno destro di $0$ nel quale $f$ è strettamente crescente, cosa che intuitivamente/banalmente è vera, ma cosi su due piedi non riesco a pensare a un modo per dimostrarla in maniera formale.
In ogni caso, una volta fatto questo, dato che anche $g$ va a $-\infty$ in virtù del fatto che $f\sim g$, è automaticamente verificato che anche $g$ è strettamente crescente in un intorno destro di $0$, che è quello che ti viene chiesto di dimostrare.
Forse il controesempio l'ho trovato..ma NON ne sn sicuro..dimmi che ne pensi
\(\displaystyle f(x)=-\frac{1}{2\sqrt{x}} \) e \(\displaystyle g(x)=-\frac{1}{x^3} \).. il loro rapporto al limite per \(\displaystyle x\rightarrow0^+ \) è \(\displaystyle \frac{-\infty}{-\infty} \) ..cioè hanno lo stesso limite.. MA NON SONO ASINTOTICHE!...
Posso concludere che il lemma iniziale è falso!..
No. L'esercizio ti chiede di dimostrare, fatte tutte quelle ipotesi, che se $f$ è crescente in senso stretto in un intorno destro di $0$, allora anche $g$ è strettamente crescente in un intorno destro di $0$. E non mi pare che tu abbia fatto questo...Al massimo si potrebbe dire che tu abbia smentito, tramite un controesempio, la seguente meta-proposizione:
Se per $x\to x_0$ $f$ e $g$ tendono allo stesso limite, allora $f\sim g$ intorno ad $x_0.$
(ripeto: quella che ho appena enunciato è una balla
)
"21zuclo":
Ciao a tutti, questo è un esercizio da un mio tema d'esame che ho pochissime idee su come farlo.
Dimostrare o confutare
Siano \(\displaystyle f,g:(0,+\infty)\rightarrow \mathbb{R} \) due funzioni tali che \(\displaystyle f(x)\sim g(x) \) per \(\displaystyle x\rightarrow 0^+ \) e \(\displaystyle f(x)\rightarrow -\infty \) per \(\displaystyle x\rightarrow 0^+ \). Se esiste un intorno (destro) di 0 su cui f è strettamente crescente, allora esiste un intorno (destro) di 0 su cui g è strettamente crescente
Secondo me, l'affermazione è vera!.. e lo dimostro usando la DIMOSTRAZIONE PER ASSURDO, che si fa negando un'affermazione della tesi.
svolgimento
dimostrazione per assurdo
TESI: \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow0^+}\frac{f(x)}{g(x)}=1 \) e \(\displaystyle f(x)\rightarrow -\infty \) per \(\displaystyle x\rightarrow0^+ \)
ora nego che \(\displaystyle g(x) \) sia strett. crescente
ora le IPOTESI sono: \(\displaystyle f(x) \) strett. crescente e \(\displaystyle g(x) \) NON strett. crescente
SE queste ipotesi sono assurde, allora l'affermazione è VERA!
\(\displaystyle g(x) \) può essere o costante oppure decrescente
proviamo la prima affermazione, che \(\displaystyle g(x)=k \), una costante
\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow0^+}\frac{f(x)}{k}=-\infty \).. prima ipotesi.. assurda.. questo ci dice che se \(\displaystyle g(x) \) è uguale a una costante \(\displaystyle f(x) \) e \(\displaystyle g(x) \) NON sono asintotiche
ora proviamo che \(\displaystyle g(x) \) è decrescente in 1 intorno di \(\displaystyle 0^+ \), proviamo \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow0^+}=\alpha \)
facciamo il limite \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow0^+}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\rightarrow0^+}\frac{-\infty}{\alpha}=-\infty \)
anche questo ASSURDO, con la nostra tesi
POSSO concludere che l'affermazione iniziale è VERA..xkè arrivo all'assurdo negando che \(\displaystyle g(x) \) NON sia strett. crescente.
Ciao,Sarah!
Credo di dover deludere te ed il tuo collega in quanto,
affermando che g(x) non è strettamente crescente in un opportuno intorno destro di 0,
non stiamo dicendo che esiste un siffatto intorno in cui essa è costante o uno in cui è decrescente;
stiamo piuttosto negando,invero,che $EEsigma$$in(0,+oo)$ t.c. $g(x')=g(x'')$(1),
e la differenza non è sottile con quanto hai detto tu perchè,con la tua affermazione,
la disuguaglianza (1) sarebbe vera addirittura in tutto l'intorno benchè basterebbero anche soli due suoi valori x'
Credo di dover deludere te ed il tuo collega in quanto,
affermando che g(x) non è strettamente crescente in un opportuno intorno destro di 0,
non stiamo dicendo che esiste un siffatto intorno in cui essa è costante o uno in cui è decrescente;
stiamo piuttosto negando,invero,che $EEsigma$$in(0,+oo)$ t.c. $g(x')
e la differenza non è sottile con quanto hai detto tu perchè,con la tua affermazione,
la disuguaglianza (1) sarebbe vera addirittura in tutto l'intorno benchè basterebbero anche soli due suoi valori x'
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