Funzioni armoniche di gradiente L2
Ciao, ho provato a cercare se questo esercizio è stato risolto ma non mi sembra..
Devo dimostrare che una funzione armonica in tutto lo spazio (R^3) il cui gradiente è L2(R^3) è costante.
(Usando il teorema di Liouville mi serve solo l'uniforme limitatezza della funzione)
Devo dimostrare che una funzione armonica in tutto lo spazio (R^3) il cui gradiente è L2(R^3) è costante.
(Usando il teorema di Liouville mi serve solo l'uniforme limitatezza della funzione)
Risposte
Butto lì una mezza idea.
Fissiamo $u in H(RR^n)$* (ovviamente si può particolarizzare il ragionamento per $n=3$) in modo che il gradiente $Du in L^2(RR^n;RR^n)$** e mostriamo che ogni derivata parziale prima di $u$ è nulla.
Ricordato che $H(RR^n) subset C^oo(RR^n)$ e che pertanto ogni operatore differenziale commuta col laplaciano (per il Teorema di Schwarz), ogni derivata di qualunque ordine della funzione armonica $u$ è a sua volta armonica; fissato un indice $i in {1,\ldots ,n}$ la derivata parziale prima $D_iu$ è in $H(RR^n)cap L^2(RR^n)$: infatti si ha $\int_(RR^n) |D_iu|^2" d"x le \sum_(j=1)^n \int_(RR^n) |D_ju|^2" d"x =\int_(RR^n) |Du|^2" d"x<+oo$; dalla finitezza dell'integrale al primo membro della precedente discende che $lim_(|x| to +oo) |D_iu(x)|=0$ (altrimenti l'integrale di $|D_iu|^2$ non potrebbe risultare finito) cosicché $D_iu$ è infinitesima all'infinito (ciò si può esprimere scrivendo $D_iu in C_0(RR^n)$) e ciò implica che $D_iu$ è limitata in $RR^n$ (giacchè infatti $C_0(RR^n) subset L^oo(RR^n)$); il Teorema di Liouville ci consente di affermare che $D_iu$ è costante ed in particolare, stante la relazione di limite provata prima, si ha $D_iu=0$ in $RR^n$.
L'arbitrarietà nella scelta dell'indice $i$ in ${1,\ldots ,n}$ ci garantisce che tutte le derivate parziali prime di $u$ sono nulle; tenendo presente il fatto che $RR^n$ è connesso, per concludere la costanza di $u$ basta invocare il Teorema sulle funzioni a gradiente nullo in un connesso.
Che dite, funziona?
Se la dimostrazione è buona, mi pare che l'ipotesi $Du in L^2(RR^n;RR^n)$ possa essere sostituita da $Du in L^p(RR^n;RR^n)$, con $p in [1,+oo]$, acquistando generalità.
__________
* Qui $H(RR^n)={u in C^2(RR^n): quad Deltau=0 " in " RR^n}$ è la classe delle funzioni armoniche su $RR^n$; si dimostra che $H(RR^n) subset C^oo(RR^n)$ (anzi vale la relazione ancora più forte $H(RR^n) subset C^omega(RR^n)$).
** Qui $L^2(RR^n; RR^n)$ è la classe delle applicazioni vettoriali di $RR^n$ in sé che hanno il modulo a quadrato sommabile.
Fissiamo $u in H(RR^n)$* (ovviamente si può particolarizzare il ragionamento per $n=3$) in modo che il gradiente $Du in L^2(RR^n;RR^n)$** e mostriamo che ogni derivata parziale prima di $u$ è nulla.
Ricordato che $H(RR^n) subset C^oo(RR^n)$ e che pertanto ogni operatore differenziale commuta col laplaciano (per il Teorema di Schwarz), ogni derivata di qualunque ordine della funzione armonica $u$ è a sua volta armonica; fissato un indice $i in {1,\ldots ,n}$ la derivata parziale prima $D_iu$ è in $H(RR^n)cap L^2(RR^n)$: infatti si ha $\int_(RR^n) |D_iu|^2" d"x le \sum_(j=1)^n \int_(RR^n) |D_ju|^2" d"x =\int_(RR^n) |Du|^2" d"x<+oo$; dalla finitezza dell'integrale al primo membro della precedente discende che $lim_(|x| to +oo) |D_iu(x)|=0$ (altrimenti l'integrale di $|D_iu|^2$ non potrebbe risultare finito) cosicché $D_iu$ è infinitesima all'infinito (ciò si può esprimere scrivendo $D_iu in C_0(RR^n)$) e ciò implica che $D_iu$ è limitata in $RR^n$ (giacchè infatti $C_0(RR^n) subset L^oo(RR^n)$); il Teorema di Liouville ci consente di affermare che $D_iu$ è costante ed in particolare, stante la relazione di limite provata prima, si ha $D_iu=0$ in $RR^n$.
L'arbitrarietà nella scelta dell'indice $i$ in ${1,\ldots ,n}$ ci garantisce che tutte le derivate parziali prime di $u$ sono nulle; tenendo presente il fatto che $RR^n$ è connesso, per concludere la costanza di $u$ basta invocare il Teorema sulle funzioni a gradiente nullo in un connesso.
Che dite, funziona?
Se la dimostrazione è buona, mi pare che l'ipotesi $Du in L^2(RR^n;RR^n)$ possa essere sostituita da $Du in L^p(RR^n;RR^n)$, con $p in [1,+oo]$, acquistando generalità.
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* Qui $H(RR^n)={u in C^2(RR^n): quad Deltau=0 " in " RR^n}$ è la classe delle funzioni armoniche su $RR^n$; si dimostra che $H(RR^n) subset C^oo(RR^n)$ (anzi vale la relazione ancora più forte $H(RR^n) subset C^omega(RR^n)$).
** Qui $L^2(RR^n; RR^n)$ è la classe delle applicazioni vettoriali di $RR^n$ in sé che hanno il modulo a quadrato sommabile.
grazie!
ma ho due dubbi..
le funzioni armoniche sono inifinitamente differenziabili? Io pensavo di no in generale.. ci penserò
Sotto quali ipotesi una funzione L2 è infinitesima all'infinito? La sola continuità non basta (e si ricollega alla prima domanda)..
ma ho due dubbi..
le funzioni armoniche sono inifinitamente differenziabili? Io pensavo di no in generale.. ci penserò
Sotto quali ipotesi una funzione L2 è infinitesima all'infinito? La sola continuità non basta (e si ricollega alla prima domanda)..
Se fosse vero che una funzione armonica è infinitamente differenziabile, allora in particolare il gradiente è differenziabile 2 volte, si vede che il laplaciano delle componenti del gradiente è nullo, quindi |Df|^2 è armonico. Vale il teorema della media per |Df|^2 quindi l'integrale della funzione sulla palla di centro x' e raggio R è proporzionale R |Df(x')|
Allora facendo tendere il raggio all'infinito ottengo che l'unica possibilità per la quale R*|Df(x')| converga è che |Df(x')|^2 sia 0. Questo vale per ogni x. quindi il gradiente è nullo e quindi la funzione costante nello spazio.
Allora facendo tendere il raggio all'infinito ottengo che l'unica possibilità per la quale R*|Df(x')| converga è che |Df(x')|^2 sia 0. Questo vale per ogni x. quindi il gradiente è nullo e quindi la funzione costante nello spazio.
cavolo, il prodotto di 2 armoniche non è armonica! mi atterrò alla tua forse..
"vedeverde":
Se fosse vero che una funzione armonica è infinitamente differenziabile, allora in particolare il gradiente è differenziabile 2 volte, si vede che il laplaciano delle componenti del gradiente è nullo, quindi |Df|^2 è armonico. Vale il teorema della media per |Df|^2 quindi l'integrale della funzione sulla palla di centro x' e raggio R è proporzionale R |Df(x')|
Allora facendo tendere il raggio all'infinito ottengo che l'unica possibilità per la quale R*|Df(x')| converga è che |Df(x')|^2 sia 0. Questo vale per ogni x. quindi il gradiente è nullo e quindi la funzione costante nello spazio.
Il fatto che ogni funzione armonica sia di classe $C^oo$ si prova regolarizzando con i mollificatori; con ragionamenti un poco più complessi si prova che ogni funzione armonica è addirittura analitica (ossia rappresentabile come somma di una serie di potenze intorno ad ogni punto dell'aperto in cui essa è definita).
La tua dimostrazione mi pare buona (ovviamente usi integrali e laplaciani di funzioni vettoriali, ove io avevo usato le componenti del gradiente). L'applicazione del Teorema della Media mi pare una cosa saggia per stabilire l'infinitesimalità delle derivate parziali... Tuttavia l'implicazione $u in Ccap L^1 quad => quad u in C_0$ non mi pare tanto azzardata.
Esistono funzioni continue integrabili ma non limitate, anche non limitate all'inifnito, le si costruiscono con una serie di triangoli..
quindi considerando l'errore della mia (ovvero che non è detto che |Df|^2 sia armonica) il problema è ancora aperto..
quindi considerando l'errore della mia (ovvero che non è detto che |Df|^2 sia armonica) il problema è ancora aperto..
serve l'uniforme continuità (a occhio, non so se è vero) per dire che la funzione L2 a infinito è infinitesima... e per l'uniforme continuità sullo spazio non basta l'infinita differenziabilità.. Mi sto disperando..
"vedeverde":
Immagino che intendessi C intersecato L1..
Esistono funzioni continue integrabili ma non limitate, anche non limitate all'inifnito, le si costruiscono con una serie di triangoli..
quindi considerando l'errore della mia (ovvero che non è detto che |Df|^2 sia armonica) il problema è ancora aperto..
Ma non puoi fare la tua dimostrazione su ogni singola componente del gradiente?
Se il gradiente è $L^2$ ogni sua componente lo è, mentre è vero che se $u$ è armonica ogni derivata parziale di $u$
è armonica (modulo questioni di regolarità che dipendono dal significato di funzione armonica).
Ho però l'impressione che ci sia una dimostrazione più elementare, basata sulla proprietà della media.
Forse dimostrando che se $u$ verifica la propietà della media ed è differenziabile, anche il gradiente verifica la
proprietà della media (la butto là) ?
Ma non puoi fare la tua dimostrazione su ogni singola componente del gradiente?
Se il gradiente è L2 ogni sua componente lo è, mentre è vero che se u è armonica ogni derivata parziale di u
è armonica (modulo questioni di regolarità che dipendono dal significato di funzione armonica).
No, perchè ho bisogno che la funzione armonica converga per usare il teorema della media, non il modulo del suo quadrato. Il modulo del quadrato delle derivate parziali non è armonico..
Comunque anche io credo esista un modo più elementare, che magari non sfrutti neanche l'infinita differenziabilià..
@vedeverde
qual'è la tua definizione di funzione armonica ?
non è vero che $u$ armonica se e solo se $u$ continua e vale la proprietà della media?
qual'è la tua definizione di funzione armonica ?
non è vero che $u$ armonica se e solo se $u$ continua e vale la proprietà della media?
Se trovi che $\nabla u$ è armonica allora si può ragionare come segue; dato che $\nabla u$ ha la proprietà della media:
$|\nabla u(x)|=|\frac{1}{\omega_n R^N}int_{B(x,R)}\nabla u(y)dy|\leq \frac{1}{\omega_n R^N}int_{B(x,R)}|\nabla u(y)|dy\leq$
$\frac{\sqrt{\omega_n R^N}}{\omega_n R^N}(\int_{B(x,R)}|\nabla u(y)|^2 dy)^{1/2}\leq\frac{||\nabla u||_2}{\sqrt{\omega_n R^N}}$
da cui mandando $R\to\infty$ deduci $\nabla u(x)=0$. Nota che hai usato solo la proprietà della media per il gradiente che probabilmente si
riesce a dedurre dalla proprieà della media di $u$ e da $u\in C^2$ senza richiedere che $\nabla u$ sia $C^2$ (anche se questo poi è vero).
Mi pare un progresso.
$|\nabla u(x)|=|\frac{1}{\omega_n R^N}int_{B(x,R)}\nabla u(y)dy|\leq \frac{1}{\omega_n R^N}int_{B(x,R)}|\nabla u(y)|dy\leq$
$\frac{\sqrt{\omega_n R^N}}{\omega_n R^N}(\int_{B(x,R)}|\nabla u(y)|^2 dy)^{1/2}\leq\frac{||\nabla u||_2}{\sqrt{\omega_n R^N}}$
da cui mandando $R\to\infty$ deduci $\nabla u(x)=0$. Nota che hai usato solo la proprietà della media per il gradiente che probabilmente si
riesce a dedurre dalla proprieà della media di $u$ e da $u\in C^2$ senza richiedere che $\nabla u$ sia $C^2$ (anche se questo poi è vero).
Mi pare un progresso.
"ViciousGoblinEnters":
$frac{1}{\omega_n R^N}int_{B(x,R)}|\nabla u(y)|dy\leq\frac{\sqrt{\omega_n R^N}}{\omega_n R^N}(\int_{B(x,R)}|\nabla u(y)|^2 dy)^{1/2}$
Sarà che è sabato sera e io sto studiando ma non lo capisco.. Anche se mi sembra plausibile..
Dopo qualche altro tentativo mi sembra meno plausibile..
E' la disuguaglianza di Hoelder, anzi di Schwartz in questo caso:
$f,g\in L^2(E)\Rightarrow fg\in L^1(E)$ e $\int_E|fg|\leq(\int_E f)^{1/2}(\int_Eg)^{1/2}$
Nel caso del messaggio precedente $g=1$
A proposito del messaggio precedente mi accorgo che avrei dovuto scrivere $n$ / $N$ sempre
maiuscolo o sempre minuscolo per indicare la dimensione dello spazio: per inciso
ho indicato con $\omega_N$ il volume della palla $N$-dimensionale unitaria , non mi ricordo se
questa sia l'uso standard.
$f,g\in L^2(E)\Rightarrow fg\in L^1(E)$ e $\int_E|fg|\leq(\int_E f)^{1/2}(\int_Eg)^{1/2}$
Nel caso del messaggio precedente $g=1$
A proposito del messaggio precedente mi accorgo che avrei dovuto scrivere $n$ / $N$ sempre
maiuscolo o sempre minuscolo per indicare la dimensione dello spazio: per inciso
ho indicato con $\omega_N$ il volume della palla $N$-dimensionale unitaria , non mi ricordo se
questa sia l'uso standard.
"ViciousGoblinEnters":
$f,g\in L^2(E)\Rightarrow fg\in L^1(E)$ e $\int_E|fg|\leq(\int_E f)^{1/2}(\int_Eg)^{1/2}$
Intendevi
$f,g\in L^2(E)\Rightarrow fg\in L^1(E)$ e $\int_E|fg|\leq(\int_E f^2)^{1/2}(\int_Eg^2)^{1/2}$
giusto? Ok, ho capito, allora mi sembra fatta..manca solo che le derivate parziali abbiano la proprietà della media..
Un giorno il prof. ci diede questo esercizio a lezione, però mai più corretto: comunque lo risolsi..
Data $f in L^p(RR^n)$ (con $1<=p<+oo$)
$f in C_0(RR^n)<=>f$ uniformemente continua
Per dimostrare => non sfruttiamo il fatto che sia una funzione $L^p$, vale in realtà per ogni funzione.
Per <= invece bisogna sfruttarla, visto che l'identità di $RR^n$ è uniformemente continua, ma non $C_0$, infatti non è in $L^p$.
Mi sento di escludere $L^(oo)$ perchè questa equivalenza fallisce sulle costanti.
Se volete vi posto la dimostrazione.
Data $f in L^p(RR^n)$ (con $1<=p<+oo$)
$f in C_0(RR^n)<=>f$ uniformemente continua
Per dimostrare => non sfruttiamo il fatto che sia una funzione $L^p$, vale in realtà per ogni funzione.
Per <= invece bisogna sfruttarla, visto che l'identità di $RR^n$ è uniformemente continua, ma non $C_0$, infatti non è in $L^p$.
Mi sento di escludere $L^(oo)$ perchè questa equivalenza fallisce sulle costanti.
Se volete vi posto la dimostrazione.
Anche se la prima strada l'abbiamo abbandonata mi piacerebbe vederla!
Sono contento quindi che quello che avevo intuito era vero. A quel punto per l'altra dimostrazione servirebbe
armonica => uniformemente continua
oltre che $C^3$
Sono contento quindi che quello che avevo intuito era vero. A quel punto per l'altra dimostrazione servirebbe
armonica => uniformemente continua
oltre che $C^3$
Intendevi
Si intendevo ... Scusa.
Per quanto riguarda la proprietà della media sulle derivate penso che si possa fare così:
dato $x$ in $RR$ e $h$ in $RR^N$, per la proprietà della media di $u$:
$u(x+h)-u(x)=\frac{1}{\omega_N R^N}\int_{B(x+h,R)}u(y)dy-\frac{1}{\omega_N R^N}\int_{B(x,R)}u(y)dy=(\star)$
(cambio di variabile $y=z+h$ nel primo integrale)
$(\star)=\frac{1}{\omega_N R^N}\int_{B(x,R)}(u(y+h)-u(y))dy$
da cui, dividendo per $h$ e facendo tendere $h$ a zero sulle rette, la tesi dovrebbe essere una facile conseguenza dei teoremi di passaggio al
limite sotto il segno di integrale (dato che $u$ è $C^1$).
Ma x e h sono di $R^n$ no? solo che h appartiene agli assi.
Bello!
Bello!
In effetti basta prendere $h=t e_i$ dove $e_i$ è un versore della base e $t\to 0$ in $RR$.
Mi sono anche accorto che si poteva dire più semplicenmente che $u(x+h)$ è armonica (banale)
e quindi verifica la proprietà della media (senza fare il cambio di variabile negli integrali).
Mi sono anche accorto che si poteva dire più semplicenmente che $u(x+h)$ è armonica (banale)
e quindi verifica la proprietà della media (senza fare il cambio di variabile negli integrali).
Ancora meglio!
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