Funzioni armoniche
Ciao a tutti. Devo dimostrare che le seguenti funzioni sono armoniche.
1. $N_a: \mathbb{R}^n\\{a\} \rightarrow \mathbb{R}$
$N_a(x)=\frac{1}{2\pi}ln(|x-a|)$ se $n=2$
$N_a(x)=\frac{-1}{(n-2)\omega(n)}\frac{1}{|x-a|^{n-2}}$ altrimenti ($\omega(n)$ non dipende da $x$
A questo punto per dimostrare che è una funzione armonica dovrei dimostrare che il suo Laplaciano è nullo, giusto?
Quindi $\sum_{i=1}^n\frac{\partialN_a(x)}{\partialx_i^2}=0$. Ora considero il primo caso e avrei $\sum_{i=1}^n\frac{2(x_i-a_i)}{|x-a|}=0$ è così? ma ora come faccio a concludere che è zero? Grazie!!!
1. $N_a: \mathbb{R}^n\\{a\} \rightarrow \mathbb{R}$
$N_a(x)=\frac{1}{2\pi}ln(|x-a|)$ se $n=2$
$N_a(x)=\frac{-1}{(n-2)\omega(n)}\frac{1}{|x-a|^{n-2}}$ altrimenti ($\omega(n)$ non dipende da $x$
A questo punto per dimostrare che è una funzione armonica dovrei dimostrare che il suo Laplaciano è nullo, giusto?
Quindi $\sum_{i=1}^n\frac{\partialN_a(x)}{\partialx_i^2}=0$. Ora considero il primo caso e avrei $\sum_{i=1}^n\frac{2(x_i-a_i)}{|x-a|}=0$ è così? ma ora come faccio a concludere che è zero? Grazie!!!
Risposte
Attenzione :quando si scrive $ |x| $ vuol dire la distanza del generico punto di coordinate $(x_1,x_2,....x_n ) $ dall'origine e quindi significa $ sqrt(x_1^2+.....x_n^2 ) $.
Nell'esercizio specifico per $ n=2 $ e per semplicità mia di calcoli considero $a=0 $.
Inoltre sempre per semplicità evito le variabili $x_1,x_2 $ che chiamerò invece $x,y $ .
A questo punto la funzione $N $ vale $N= (1/(2pi) ln sqrt(x^2+y^2 )$.
Con qualche calcolo si arriva a dire che
$(del^2N)/(dx^2)=(1/(2pi))(y^2-x^2)/(x^2+y^2)^2 $
$(del^2N)/(dy^2)=(1/(2pi))(x^2-y^2)/(x^2+y^2)^2 $
pertanto $ (del^2N)/(dx^2) +del^2N/(dy^2) = 0 $ e la funzione è quindi armonica.
Nell'esercizio specifico per $ n=2 $ e per semplicità mia di calcoli considero $a=0 $.
Inoltre sempre per semplicità evito le variabili $x_1,x_2 $ che chiamerò invece $x,y $ .
A questo punto la funzione $N $ vale $N= (1/(2pi) ln sqrt(x^2+y^2 )$.
Con qualche calcolo si arriva a dire che
$(del^2N)/(dx^2)=(1/(2pi))(y^2-x^2)/(x^2+y^2)^2 $
$(del^2N)/(dy^2)=(1/(2pi))(x^2-y^2)/(x^2+y^2)^2 $
pertanto $ (del^2N)/(dx^2) +del^2N/(dy^2) = 0 $ e la funzione è quindi armonica.
ora ho capito questo pezzo, e invece per la seconda possibilitá?
Il procedimento è uguale a quello illustrato da Camillo, solo che c'è qualche variabile in più.
Tieni presente che $(partial)/(\partial x_i)|x-a|=(x_i-a_i)/|x-a| quad => quad (\partial^2)/(\partial x_i^2)|x-a|=(partial)/(\partial x_i)[(x_i-a_i)/|x-a|]=1/|x-a|-(x_i-a_i)^2/|x-a|^3$ e poi deriva bene quando fai i conti...
Le funzioni che hai postato sono le funzioni opposte delle cosiddette soluzioni fondamentali dell'equazione di Laplace (con singolarità in $a$): come vedi esse dipendono unicamente dalla distanza del punto variabile $x$ da un punto fisso $a$ e ciò si esprime dicendo che esse sono soluzioni di tipo radiale.
Partendo da questa considerazione si riesce anche a capire come tali soluzioni sono state ricavate: invero se supponi che $u(x)=v(|x-a|)$ (con $v(r) in C^2(RR-{0})$) e si trova che $u$ risolve l'equazione di Laplace al di fuori di $a$ se la funzione incognita $v$ soddisfa l'equazione differenziale ordinaria del second'ordine:
$v''(r)+(n-1)/r*v'(r)=0 quad$ (qui $n ge 2$ è il numero di variabili da cui dipende $u$);
questo problema omogeneo ha come integrale generale:
$v(r;a,b)=\{(a/(log r)+b, " se " n=2),(a/(r^n-2)+b, " se " n ge 3):}$
con $a,b in RR$ costanti di integrazione e perciò l'integrale generale radiale in $RR^n-{a}$ dell'equazione di Laplace è del tipo:
$u(x;a,b)=\{(a/(log |x-a|)+b, " se " n=2),(a/|x-a|^(n-2)+b, " se " n ge 3):}$.
Le soluzioni fondamentali si ricavano dall'integrale generale radiale per valori particolari dei parametri $a,b$: in particolare esse sono quelle che corrispondono a:
$b=0 quad$ ed $quad a=\{(-1/(2pi), " se " n=2), (1/((n-2)omega(n)), " se " n ge 3):}$
(qui $omega(n)=n*alpha(n)=n*(pi^(n/2))/(Gamma(n/2+1))$ è la misura di Lebesgue della ipersuperficie sferica che delimita la sfera unitaria di $RR^n$; per maggiori informazioni a riguardo vedi qui ove al posto del simbolo $omega(n)$ ho adoperato $beta(n)$).
Tieni presente che $(partial)/(\partial x_i)|x-a|=(x_i-a_i)/|x-a| quad => quad (\partial^2)/(\partial x_i^2)|x-a|=(partial)/(\partial x_i)[(x_i-a_i)/|x-a|]=1/|x-a|-(x_i-a_i)^2/|x-a|^3$ e poi deriva bene quando fai i conti...
Le funzioni che hai postato sono le funzioni opposte delle cosiddette soluzioni fondamentali dell'equazione di Laplace (con singolarità in $a$): come vedi esse dipendono unicamente dalla distanza del punto variabile $x$ da un punto fisso $a$ e ciò si esprime dicendo che esse sono soluzioni di tipo radiale.
Partendo da questa considerazione si riesce anche a capire come tali soluzioni sono state ricavate: invero se supponi che $u(x)=v(|x-a|)$ (con $v(r) in C^2(RR-{0})$) e si trova che $u$ risolve l'equazione di Laplace al di fuori di $a$ se la funzione incognita $v$ soddisfa l'equazione differenziale ordinaria del second'ordine:
$v''(r)+(n-1)/r*v'(r)=0 quad$ (qui $n ge 2$ è il numero di variabili da cui dipende $u$);
questo problema omogeneo ha come integrale generale:
$v(r;a,b)=\{(a/(log r)+b, " se " n=2),(a/(r^n-2)+b, " se " n ge 3):}$
con $a,b in RR$ costanti di integrazione e perciò l'integrale generale radiale in $RR^n-{a}$ dell'equazione di Laplace è del tipo:
$u(x;a,b)=\{(a/(log |x-a|)+b, " se " n=2),(a/|x-a|^(n-2)+b, " se " n ge 3):}$.
Le soluzioni fondamentali si ricavano dall'integrale generale radiale per valori particolari dei parametri $a,b$: in particolare esse sono quelle che corrispondono a:
$b=0 quad$ ed $quad a=\{(-1/(2pi), " se " n=2), (1/((n-2)omega(n)), " se " n ge 3):}$
(qui $omega(n)=n*alpha(n)=n*(pi^(n/2))/(Gamma(n/2+1))$ è la misura di Lebesgue della ipersuperficie sferica che delimita la sfera unitaria di $RR^n$; per maggiori informazioni a riguardo vedi qui ove al posto del simbolo $omega(n)$ ho adoperato $beta(n)$).
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