Funzioni analitiche ed integrabilità elementare
Buonasera a tutti,
per mia curiosità sto studiando la questiona dell'integrabilità elementare (che viene dimostrata con il T. di Louville).
Tuttavia mi chiedevo se l' "intuizione" secondo la quale
"una funzione analitica è anche elementarmente integrabile"
è corretta o meno...
Ossia l'analiticità costituirebbe una condizione sufficiente (non credo necessaria: ci sono funzioni non analitiche che sono elementarmente integrabili? boh...) affinché la primitiva della funzione sia esprimibile attraverso funzioni elementari.
Grazie a tutti!
per mia curiosità sto studiando la questiona dell'integrabilità elementare (che viene dimostrata con il T. di Louville).
Tuttavia mi chiedevo se l' "intuizione" secondo la quale
"una funzione analitica è anche elementarmente integrabile"
è corretta o meno...
Ossia l'analiticità costituirebbe una condizione sufficiente (non credo necessaria: ci sono funzioni non analitiche che sono elementarmente integrabili? boh...) affinché la primitiva della funzione sia esprimibile attraverso funzioni elementari.
Grazie a tutti!
Risposte
La funzione \(f(x) = e^{-x^2}\) è analitica.
(Sto assumendo che con "elementarmente integrabile" tu intenda che ammette una primitiva elementare.)
(Sto assumendo che con "elementarmente integrabile" tu intenda che ammette una primitiva elementare.)
Si per "elementarmente integrabile" intendo proprio quello.
Però scusa, analitica non sta a significare che esiste una serie di Taylor/Maclauirin con resto infinitesimo? Ossia, all'aumentare di $n$ la serie di potenze non solo approssima la funzione ma è una sua rappresentazione alternativa.
$e^-{x^2}$ ha un'altra rappresentazione?
Però scusa, analitica non sta a significare che esiste una serie di Taylor/Maclauirin con resto infinitesimo? Ossia, all'aumentare di $n$ la serie di potenze non solo approssima la funzione ma è una sua rappresentazione alternativa.
$e^-{x^2}$ ha un'altra rappresentazione?
La funzione \(f(x) = e^{-x^2}\) può essere sviluppata in serie di Taylor; ad esempio, la sua serie di MacLaurin è
\[
e^{-x^2} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k!} x^{2k}\,,
\]
con raggio di convergenza \(R=+\infty\).
\[
e^{-x^2} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k!} x^{2k}\,,
\]
con raggio di convergenza \(R=+\infty\).
Grazie Rigel per la risposta.
Premetto che non sono sicuro di quello che sto per scrivere, quindi correggimi/correggetemi se dico delle scemenze.
Ho due domande.
1) Lo sviluppo che hai fornito tu è equivalente alla serie di maclaurin ma "tecnicamente" non è una serie di maclaurin. Infatti compare il termine $x^(2k)$ e non $x^k$. E credo non si riesca a scrivere in funzione di $x^k$ (a meno di non specificare che la serie va calcolata solo su termini pari, ma anche qui non credo sia una serie di maclaurin). Volessi calcolarmi il resto della serie
$R_n(x) = \frac{f^((n+1))(0)}{(n+1)!} x^(n+1)$
come faccio?
2) Dal momento che $e^(-x^2)$ è comunque esprimibile come somma infinita di polinomi, ed essendo i polinomi una classe elementarmente integrabile, come mai $e^(-x^2)$ non lo è?
Intendo che mi aspetterei una primitiva elementare per
$\int \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k!} x^{2k} dx$
Premetto che non sono sicuro di quello che sto per scrivere, quindi correggimi/correggetemi se dico delle scemenze.
Ho due domande.
1) Lo sviluppo che hai fornito tu è equivalente alla serie di maclaurin ma "tecnicamente" non è una serie di maclaurin. Infatti compare il termine $x^(2k)$ e non $x^k$. E credo non si riesca a scrivere in funzione di $x^k$ (a meno di non specificare che la serie va calcolata solo su termini pari, ma anche qui non credo sia una serie di maclaurin). Volessi calcolarmi il resto della serie
$R_n(x) = \frac{f^((n+1))(0)}{(n+1)!} x^(n+1)$
come faccio?
2) Dal momento che $e^(-x^2)$ è comunque esprimibile come somma infinita di polinomi, ed essendo i polinomi una classe elementarmente integrabile, come mai $e^(-x^2)$ non lo è?
Intendo che mi aspetterei una primitiva elementare per
$\int \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k!} x^{2k} dx$
1) Semplicemente i coefficienti relativi alle potenze dispari sono nulli:
\[
a_{2k} = \frac{(-1)^k}{k!}, \qquad a_{2k+1} = 0, \qquad \forall k\in\mathbb{N}.
\]
2) Si può dimostrare che \(e^{-x^2}\) non ammette primitive elementari; vedi ad esempio qui.
\[
a_{2k} = \frac{(-1)^k}{k!}, \qquad a_{2k+1} = 0, \qquad \forall k\in\mathbb{N}.
\]
2) Si può dimostrare che \(e^{-x^2}\) non ammette primitive elementari; vedi ad esempio qui.
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