Funzioni analitiche, derivata n-esima con gli sviluppi in serie di Taylor
Ciao a tutti, stavo provando a svolgere un esercizio in cui dopo aver trovato la serie di Taylor di una funzione mi chiede di calcolare la derivata prima in zero e la derivata 28 in zero. La serie trovata è la seguente: f(x) = -[ln(3)+x+{sommatoria da 1 a infinito di [(-1)^(n+1)*4^(n)*x^(2n)] / [n*3^(n)].
Per quanto riguarda la derivata 28 di f(x) l'ho trovata usando k!*a(k) = f^(n) (x0). Ho provato a usare la stessa formula per la derivata prima ma non riesco ad arrivare al risultato corretto (che è -1) e per arrivarci ho derivato normalmente termine a termine la serie. Come si fa con l'altra formula?
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Per quanto riguarda la derivata 28 di f(x) l'ho trovata usando k!*a(k) = f^(n) (x0). Ho provato a usare la stessa formula per la derivata prima ma non riesco ad arrivare al risultato corretto (che è -1) e per arrivarci ho derivato normalmente termine a termine la serie. Come si fa con l'altra formula?
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Risposte
Riscrivo così c'è più possibilità che qualcuno ti risponda:
All'inizio della definizione di $f(x)$ tu metti una parentesi quadra che poi non chiudi, quindi non si capisce come è la funzione...
"Masterbug":
Ciao a tutti, stavo provando a svolgere un esercizio in cui dopo aver trovato la serie di Taylor di una funzione mi chiede di calcolare la derivata prima in zero e la derivata 28 in zero. La serie trovata è la seguente:
\[
f(x) = -\ln 3-x+\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{n}\bigg(\frac{4}{3}x^2\bigg)^n.
\]
Per quanto riguarda la derivata 28 di $f(x)$ l'ho trovata usando $k! a(k) = f^{(n)} (x_0)$. Ho provato a usare la stessa formula per la derivata prima ma non riesco ad arrivare al risultato corretto (che è $-1$) e per arrivarci ho derivato normalmente termine a termine la serie. Come si fa con l'altra formula?
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All'inizio della definizione di $f(x)$ tu metti una parentesi quadra che poi non chiudi, quindi non si capisce come è la funzione...
Grazie per la risposta allora la parentesi tiene tutta la funzione cioè il meno comprende tutta la funzione:
f(x) = -[ln(3)+x+{sommatoria da 1 a infinito di [(-1)^(n+1)*4^(n)*x^(2n)] / [n*3^(n)]}]
f(x) = -[ln(3)+x+{sommatoria da 1 a infinito di [(-1)^(n+1)*4^(n)*x^(2n)] / [n*3^(n)]}]
Ok ho riscritto la funzione nel modo più ordinato possibile.
Domanda: quanto ti risulta $f^{(28)}(0)$? Il risultato dovrebbe essere $28!\frac{1}{14}(\frac{4}{3})^{14}$.
Domanda: quanto ti risulta $f^{(28)}(0)$? Il risultato dovrebbe essere $28!\frac{1}{14}(\frac{4}{3})^{14}$.
L'unico termine di grado 1 è $-x$, quindi la derivata prima vale $-1$
"billyballo2123":
Ok ho riscritto la funzione nel modo più ordinato possibile.
Domanda: quanto ti risulta $f^{(28)}(0)$? Il risultato dovrebbe essere $28!\frac{1}{14}(\frac{4}{3})^{14}$.
Sì è giusta ma col meno davanti.
"Vulplasir":
L'unico termine di grado 1 è $ -x $, quindi la derivata prima vale $ -1 $
Ok grazie, ma perchè la formula generale non vale?
Cos'è la formula generale?
"Masterbug":
[quote="billyballo2123"]Ok ho riscritto la funzione nel modo più ordinato possibile.
Domanda: quanto ti risulta $f^{(28)}(0)$? Il risultato dovrebbe essere $28!\frac{1}{14}(\frac{4}{3})^{14}$.
Sì è giusta ma col meno davanti.
[/quote]
Invece dovrebbe venire senza meno...
"Masterbug":
Ok grazie, ma perchè la formula generale non vale?
Il fatto è che se fosse
\[
f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_nx^n
\]
allora avresti $f^{(k)}(x)=k!a_k$ per ogni $x$ appartenente all'insieme in cui $f$ è analitica.
Il problema è che tu hai
\[
f(x)=a_0+a_1 x +\sum_{n=1}^{+\infty}b_n x^{2n},
\]
dunque dovresti porre $a_0=-\ln 3$, $a_1=-1$, $a_{2k}=b_{k}$ e $a_{2k+1}=0$ per ogni $k\in\mathbb{N}$. Dopodiché potresti usare la formula $f^{(k)}(x)=k!a_k$.
Grazie mille ora ho capito =)
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