Funzioni a variazione totale limitata

[bernardo2]

Ciao a tutti avevo le seguenti domande da fare, se qualcuno sapesse rispondermi ne sarei molto felice:
1) Se f:[a,b]->R è una funzione derivabile su [a,b] e ha variazione totale limitata allora la funzione derivata deve essere limitata su [a,b]?
2)Se f:[a,b]->[c,d]invertibile e a variazione totale limitata, allora anche l'inversa di f ha variazione totale limitata su [c,d]?
3)Infine se f:[a,b]->[c,d] invertibile è integrabile secondo Riemann, allora anche l'inversa è integrabile su [c,d]?
Grazie mille a tutti

[ViciousGoblin]

A occhio la 1) mi pare falsa. Ci sono funzioni monotone (quindi a variazione limitata) che hanno derivata
illimitata. Il problema e' che una tale funzione non puo' essere derivabile nel primo punto e quindi funziona su
$]a,b]$ ma non su $[a,b]$ (per esempio $\sqrt(x)$ su $]0,1]$ ).
Ho pero' l'impressione che moltiplicando per un termine oscillante il controesempio si riesca a costruire -
proverei con $f(x)=x^\alpha\sin(x^{-\beta})$ - se $\alpha>1$ $f$ e' derivabile anche in zero, ma, muovendo $\beta$, la derivata
puo' essere resa illimitata vicino a zero senza (CREDO) perdere subito la variazione totale limitata.

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