Funzioni a variazione limitata definite sulla retta reale

[dissonance]

Ho più o meno capito che una funzione $\alpha \in BV[a, b]$ (ovvero una funzione tale che $V_a^b(g)="sup" \sum_{i} | \alpha(x_{i+1})-\alpha(x_i)|< \infty$, dove il sup è preso sulle partizioni di $[a, b]$) definisce in modo univoco una misura Boreliana su $[a, b]$, il cui integrale coincide -per funzioni continue- con l'integrale di Riemann-Stieltjes di funzione integratrice $alpha$.

Ma se volessi estendermi da $[a, b]$ ad $RR$, cosa dovrei imporre su $alpha$? Di essere a variazione limitata su ogni intervallo compatto, semplicemente, oppure qualcosa di più forte?

[gugo82]

Se chiami [tex]$V_a^b(\alpha)$[/tex] la variazione totale di [tex]$\alpha$[/tex] in [tex]$[a,b]$[/tex], la condizione da imporre è [tex]$\sup_{a
Però non c'è bisogno di fare tutto sto casino.
Semplicemente definisci lo spazio [tex]$BV (\mathbb{R})$[/tex] proprio come si fa per un intervallo, ossia: prendi una generica decomposizione [tex]$D=\{ x_0 <\ldots < x_{N+1}\} \subseteq \mathbb{R}$[/tex], formi la variazione:

[tex]$V_D(\alpha):=\sum_{n=0}^N |\alpha (x_{n+1})-\alpha (x_n)|$[/tex]

e di tali variazioni prendi l'estremo superiore:

[tex]$V_{-\infty}^{+\infty} (\alpha) :=\sup_{D\in \mathcal{D}} V_D (\alpha)$[/tex]

al variare di [tex]$D\in \mathcal{D}$[/tex] (che è l'insieme delle decomposizioni di [tex]$\mathbb{R}$[/tex], i.e. la classe di tutti gli insiemi finiti ordinati in modo crescente contenuti in [tex]$\mathbb{R}$[/tex]); se [tex]$V_{-\infty}^{+\infty} (\alpha )<+\infty$[/tex] dici che [tex]$\alpha \in BV(\mathbb{R})$[/tex], altrimenti no.

Credo che la costruzione appena descritta e la condizione che ho scritto al principio del post siano equivalenti.
Questo perchè, se [tex]$\alpha$[/tex] è definita in [tex]$\mathbb{R}$[/tex], la funzione [tex]$X\ni (a,b)\mapsto V_a^b (\alpha) \in [0,+\infty[$[/tex] (qui [tex]$X:=\{ (a,b)\in \mathbb{R}^2:\ a
[tex]$V_{-\infty}^{+\infty} (\alpha) =\lim_{a\to -\infty ,b\to +\infty} V_a^b (\alpha) =\sup_{a

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[dissonance]

Si, in effetti mi convince. L'ultimo limite che hai scritto è intuitivamente ovvio, ci sarà da giocare un po' con delle disuguaglianze, se trovo il tempo vedo di farlo per esercizio. Poi ragionando proprio come al solito si dimostrerà che una funzione $f \in BV(RR)$ in questo senso è la somma di una funzione crescente e di una decrescente e quindi ad essa si assocerà una misura Boreliana (con segno). Ok Gugo, ti ringrazio.

Sai, sto studiando il teorema spettrale per operatori autoaggiunti su un libro che dichiara nei prerequisiti: non occorrono conoscenze avanzate di teoria della misura. Poi vai a leggere e ti accorgi perché:

Teorema: blablabla... e quindi $Af=\int_{-\infty}^\infty \lambda d P_lambda f$. L'ultimo integrale è ben definito: la dimostrazione è lasciata al lettore.

Così ero capace anche io!!!

[gugo82]

Ma la teoria spettrale degli operatori autoaggiunti è completamente astratta (basta avere sotto mano uno spazio di Hilbert et voilà! )... Quindi è ovvio che non occorrono conoscenze avanzate etc.

Poi, ovviamente, se vuoi passare a qualche esempio concreto è chiaro che ti serve almeno l'integrale di Lebesgue e tutte le machinery della Teoria della Misura.

[ViciousGoblin]

@gugo Mi pare che l'integrale citato da dissonance sia astratto e non un esempio concreto. Nota che l' integrando è una funzione a valore negli operatori lineari sullo spazio ....
Ci vuole l'integrale (di Lebesgue) per una funzione da $RR$ a valori in un Banach (che per quanto ricordo si fa usando la dualità: $<\int_RR f,\phi> = \int_RR$)

Edit. Forse nella formula di dissonance basta l'integrale di Riemann (può darsi che la funzione $\lambda\mapsto P_\lambda$ abbia un minimo di regolarità).
Comunque sono d'accordo che il libro bara .

[dissonance]

Esatto VG, hai colto alla perfezione!!!

Il problema è costruire una recovery formula per l'operatore autoaggiunto [tex]A[/tex] in uno spazio di Hilbert. Se [tex]A[/tex] è compatto, questa è fornita dal teorema di Hilbert-Schmidt: esiste infatti un sistema ortonormale di autovettori [tex]\{u_n\mid n \in J\}[/tex], dove [tex]J[/tex] è al più numerabile e ogni vettore [tex]x[/tex] si decompone in modo unico come

[tex]$x=\sum_{n \in J} (x, u_n)u_n + v,\quad v \in N(A)[/tex] (nucleo di [tex]A[/tex]).

Da qui discende immediatamente una scrittura di [tex]A[/tex] come somma infinita di proiettori ortogonali:

[tex]$A=\sum_{n \in J} \lambda_n P_n[/tex], dove i [tex]\lambda_n[/tex] sono evidentemente gli autovalori di [tex]A[/tex].

*****

Ora vogliamo estendere quest'ultimo risultato a operatori [tex]A[/tex] non compatti e neanche limitati e sostanzialmente ci riusciremo, a patto di superare una difficoltà tecnica: lo spettro di [tex]A[/tex] non ha più alcun obbligo di essere discreto, come era nel caso compatto, né ha obbligo di essere limitato. Di conseguenza dobbiamo necessariamente sostituire la serie con un integrale esteso all'intera retta reale e a valori in uno spazio di operatori. Precisamente la formula è:

[tex]$A=\int_{-\infty}^\infty \lambda dP_{\lambda}[/tex]

*****

Il libro che leggo (Berezin-Shubin, The Schroedinger Equation, Kluwer 1991) non indugia molto su questa difficoltà tecnica. Lui infatti si appoggia alla teoria di Riemann-Stieltjes (come VG ha ben compreso!) e lo fa anche in modo molto brusco: per lui la formula va letta come

[tex]$Af=\int_{-\infty}^\infty \lambda\, d(P_\lambda f)[/tex] per ogni [tex]f \in \mathcal{H}[/tex], e l'integrale è da interpretare come

[tex]$\lim_{\alpha \to -\infty, \beta \to +\infty} \int_{\alpha}^{\beta}\lambda\, d(P_\lambda f)[/tex]

dove ogni integrale su un intervallo limitato [tex]\alpha, \beta[/tex] è il limite rispetto alla norma di [tex]\mathcal{H}[/tex] delle somme di Riemann della funzione integranda. Il compito di dimostrare che questa definizione funziona è lasciato poi al lettore.

*****

Ora io sono convinto che questo approccio funzioni, e anzi per operatori limitati mi piace pure, perché in tal caso l'integrale è esteso ad un intervallo limitato e si evita il riferimento a nozioni di teoria di misura (projection-valued measures) che appesantiscono il discorso. Ma se lo spettro non è limitato, no, non mi piace. E' dura dimostrare anche la più fessa delle proprietà di quell'integrale se ogni volta bisogna fare due passaggi al limite: uno per le somme di Riemann e uno per estendere il dominio di integrazione. Così mi sono procurato una copia del libro di Teschl Mathematical Methods of Quantum Mechanics (homepage) e adesso mi accingo a leggere il capitolo relativo al teorema spettrale. Vediamo se, finalmente, riesco a capirlo.

Se davvero qualcuno è arrivato a leggere fin qui, lo ringrazio vivamente!!!

[ViciousGoblin]

@dissonance Ho letto tutto il tuo post .
Dato che il problema è nello spazio di arrivo, devi cioè integrare una funzione da $RR$ a VALORI in uno spazio vettoriale $X$ (anche se di dimensione infinita) forse il problema non è così difficile. Come dicevo prima (anche se in modo un po' ellittico) nel caso di $X$ Hilbert dovrebbe bastare la definizione
$phi( \int_RR f(\lambda)d\lambda )=\int\phi(f(\lambda))d\lambda$ per ogni $\phi$ in $X^\star$ (da sistemare, come al solito ... ). Comunque la cosa da cercare è "integrale di Bochner"

[dissonance]

Allora, VG, mi sono informato un po' sulla questione. Illustro schematicamente le conclusioni a cui sono giunto.

Per prima cosa è proprio necessario introdurre una definizione, quella di projection-valued measure (come si dirà in italiano? mah) - nel seguito indico con [tex]\mathcal{B}[/tex] la sigma-algebra di Borel di [tex]\mathbb{R}[/tex]:

Sia [tex]\mathfrak{H}[/tex] uno spazio di Hilbert e [tex]\mathcal{L}(\mathfrak{H})[/tex] lo spazio degli operatori limitati di [tex]\mathfrak{H}[/tex] in sé. Una applicazione [tex]P\colon \mathcal{B}(\mathbb{R}) \to \mathcal{L}(\mathfrak{H})[/tex] è detta projection-valued measure sse:

i) Per ogni [tex]\Omega \in \mathcal{B}[/tex], [tex]P(\Omega)[/tex] è un proiettore ortogonale (i.e. un operatore limitato autoaggiunto e idempotente);
ii) [tex]P(\mathbb{R})=I[/tex] (operatore identico);
iii) Se [tex]\Omega= \cup_n \Omega_n[/tex] con unione numerabile e disgiunta allora [tex]P(\Omega)=\sum_n P(\Omega_n)[/tex], dove la convergenza della serie è quella puntuale (strong operator topology).

Le proprietà di una misura come questa sono analoghe a quelle di una misura Boreliana finita, con in più la

[tex]P(\Omega_1 \cap \Omega_2)=P(\Omega_1)P(\Omega_2)[/tex]

in particolare, proiettori relativi a insiemi disgiunti sono ortogonali (due proiettori [tex]P_1, P_2[/tex] sono ortogonali sse [tex]P_1P_2=0[/tex]).

*****

Data una projection valued measure [tex]P[/tex] si conviene di chiamare resolution of the identity l'applicazione di [tex]\mathbb{R}[/tex] in [tex]\mathcal{L}(\mathfrak{H})[/tex]

[tex]$P_{\lambda}=P( -\infty, \lambda ][/tex]

risulta, ovviamente, che le funzioni della [tex]\lambda[/tex] [tex](\psi, P_{\lambda} \varphi )[/tex] e [tex]\lVert P_{\lambda} \varphi \rVert ^2[/tex] sono funzioni di distribuzione di misure Boreliane (una complessa, l'altra positiva), rispettivamente della [tex]\Omega \mapsto (\psi, P (\Omega) \varphi )[/tex] e della [tex]\Omega \mapsto \lVert P (\Omega) \varphi \rVert ^2[/tex], e che di conseguenza ogni projection valued measure è individuata univocamente dalla propria resolution of the identity.

[size=75]Nel paragrafo appena terminato è contenuta la conferma a quanto dicevi nell'ultimo post: assegnando l'integrale solo "in forma debole", si individua univocamente una projection valued measure.[/size]

*****

Adesso veniamo al nocciolo della questione: la definizione di integrale rispetto a questo tipo di misure. Si comincia, al solito, con le funzioni semplici:

se [tex]$s=\sum_{j=1}^m \alpha_j \chi_{\Omega_j}[/tex] è una funzione semplice e Boreliana (si intende che gli [tex]\Omega_j[/tex] sono disgiunti) allora definiamo

[tex]$ \int_{-\infty}^\infty s(\lambda)\, dP_\lambda = \sum_{j=1}^m \alpha_j P(\Omega_j) \in \mathcal{L}(\mathfrak{H})[/tex]

Questo integrale si estende per continuità allo spazio [tex]B(\mathbb{R})[/tex] delle funzioni Boreliane limitate normato con la norma del sup. Abbiamo quindi dato un significato alla scrittura

[tex]$\int_{-\infty}^\infty f(\lambda)\, dP_\lambda[/tex] se [tex]f[/tex] è una funzione limitata. Chiamiamo quest'ultimo integrale [tex]P(f)[/tex].

Osserviamo che risulta

[tex]$(\varphi, P(f)\psi ) =\int_{-\infty}^\infty f\, d (\varphi, P_\lambda \psi)[/tex]

e

[tex]$\lVert P(f) \psi \rVert^2 = \int_{-\infty}^\infty \lvert f(\lambda) \rvert ^2 \, d \lVert P_\lambda \psi \rVert^2[/tex]

si intende cioè che questi integrali sono presi rispetto alle misure di cui al precedente paragrafo.

******

Infine è necessario estendere la definizione alle funzioni Boreliane non necessariamente limitate. A questo scopo diciamo [tex]f[/tex] una funzione siffatta. Poniamo

[tex]$D_f = \{ \psi \in \mathfrak{H} \mid \int_{-\infty}^\infty \lvert f(\lambda) \rvert ^2\, d\lVert P_\lambda \psi \rVert^2 < \infty \}[/tex]

si tratta di un sottospazio vettoriale di [tex]\mathfrak{H}[/tex]. Fissata [tex]\psi \in D_f[/tex] consideriamo la successione [tex]f_n=f \chi_{\{f \le n \} }[/tex]: queste funzioni sono Boreliane limitate e convergono puntualmente a [tex]f[/tex].

Ora la condizione [tex]\psi \in D_f[/tex] significa, sinteticamente, [tex]f \in L^2 (\mathbb{R}, d \lVert P_\lambda \psi \rVert ^2 )[/tex], quindi in particolare la successione [tex]f_n[/tex] è di Cauchy in tale spazio, per convergenza dominata.

Ricordiamo ora che

[tex]$\lVert P(f_n) \psi \rVert ^2 = \int_{-\infty}^ {\infty} \lvert f_n \rvert ^2\, d \lVert P_\lambda \psi \rVert ^2[/tex]

da cui la successione [tex]P(f_n)\psi[/tex] è di Cauchy in [tex]\mathfrak{H}[/tex]. Definiamo allora [tex]P(f) \psi[/tex] il limite di questa successione. Non è difficile mostrare che questo limite non dipende dalla particolare successione [tex]f_n[/tex] scelta, cosicché abbiamo definito un operatore non limitato di dominio [tex]D_f[/tex]:

[tex]$ P(f)= \int_{-\infty}^\infty f(\lambda)\, dP_\lambda[/tex].

*****

A questo punto si può enunciare il teorema spettrale di cui ai post precedenti. Certo, una volta fatto questo lavoro con le projection valued measures, l'armamentario a nostra disposizione diventa molto migliore rispetto a quello dell'integrale di Riemann.

Ok, è tutto. Ti ringrazio tantissimo (e lo stesso vale per Gugo) per l'attenzione: scrivere queste note mi aiuta parecchio a mettere ordine nelle idee.

[dissonance]

Ecco, faccio un esempio di risultato semplice che però non saprei proprio dimostrare con l'approccio dei russi Berezin-Shubin (quello basato sull'integrale di Riemann). Prendiamo una successione di funzioni Boreliane positive [tex]f_n[/tex] che convergono crescendo ad una funzione [tex]f[/tex]:

[tex]f_n \uparrow f[/tex].

Dalla disuguaglianza [tex]0\le f_n \le f[/tex] si vede subito che gli operatori [tex]\int f_n(\lambda)\, dP_\lambda, \int f(\lambda)\, dP_{\lambda}[/tex] (ometto gli estremi di integrazione che sono sempre [tex]-\infty, +\infty[/tex]) sono tutti definiti nell'insieme

[tex]$D_f=\{ \psi \in \mathfrak{H} \mid \int f ^2 \, d \lVert P_\lambda \psi \rVert ^2 < \infty \}[/tex]

ed è immediato vedere che

[tex]$\lim_{n \to \infty} \left( \int f_n\, dP_\lambda - \int f\, dP_\lambda \right) \psi=0[/tex] per ogni [tex]\psi \in D_f[/tex];

è una semplice applicazione del teorema di convergenza monotona e dell'identità

[tex]$\left\lVert \left( \int f_n\, dP_\lambda - \int f\, dP_\lambda \right) \psi \right\rVert ^2 = \int (f_n-f)^2\, d \lVert P_\lambda \psi \rVert ^2[/tex].

Come la dimostriamo una cosa del genere, con l'integrale di Riemann? Forse in Russia lo insegnano al primo anno di università e chi non lo sa fare viene fucilato!

[Euphurio]

"dissonance":Prendiamo una successione di funzioni Boreliane positive [tex]f_n[/tex] che convergono crescendo ad una funzione [tex]f[/tex]:

[tex]f_n \uparrow f[/tex]

Ultimamente seguo con interesse i tuoi post...tuttavia ho sempre usato il simbolo [tex]f_n\nearrow f[/tex].Ho sempre trovato questo....e mi hai mandato in crisi? Quale dei due è comunemente usato?

Chiedo scusa per l'off topic!

[dissonance]

Sono molto contento che tu segua i miei post!!!

Riguardo la tua domanda: se vai in crisi per così poco, cosa farai quando troverai notazioni veramente strampalate? Girando un po' per i libri si vede davvero di tutto. E' così anche per le freccette, si trovano tutte e due (per quello che ho visto) con uguale distribuzione... Scegli quella che ti piace di più. Io preferisco quella dritta verso l'altro perché mi dà l'idea di maggiore stabilità, quella storta sembra debba cadere da un momento all'altro!