Funzioni a variazione limitata
Ciao a tutti questo è il mio primo post mi scuso in anticipo per eventuali errori di forma.
Vorrei una conferma sulla definizione di funzione a variazione limitata su $[a,infty)$.
E' vero che se $f$ è a variazione limitata su ogni intervallo chiuso e limitato $[a,k]$ e $\lim_{k \to \infty} V_a^k(f)$ è finito allora $f$ si dice a variazione limitata su $[a,infty)$ ?
($V_a^k(f)$ = variazione totale di f su $[a,k]$)
Se si, posso anche dire che le funzioni $sin(x)$ e $x^2$ non sono a variazione limitata su un intervallo $[a,infty)$ nonostante lo siano per qualsiasi intervallo chiuso e limitato, giusto?
Grazie!
Vorrei una conferma sulla definizione di funzione a variazione limitata su $[a,infty)$.
E' vero che se $f$ è a variazione limitata su ogni intervallo chiuso e limitato $[a,k]$ e $\lim_{k \to \infty} V_a^k(f)$ è finito allora $f$ si dice a variazione limitata su $[a,infty)$ ?
($V_a^k(f)$ = variazione totale di f su $[a,k]$)
Se si, posso anche dire che le funzioni $sin(x)$ e $x^2$ non sono a variazione limitata su un intervallo $[a,infty)$ nonostante lo siano per qualsiasi intervallo chiuso e limitato, giusto?
Grazie!
Risposte
Risponderei di sì ad entrambe le domande.
Ti ringrazio per la risposta e colgo l'occasione per un altro esempio per fissare le idee... non dovrei sbagliare dicendo che le funzioni gaussiane e la funzione $e^-x$ invece sono a variazione limitata su un intervallo $[a,+infty)$ e per quanto riguarda le gaussiane posso estendere tale caratteristica a tutto $RR$, è corretto?
Se hai una funzione di classe \(C^1\) (tanto per stare tranquilli), allora la variazione totale non è altro che l'integrale del modulo della derivata.
Ancor più semplicemente, se hai una funzione monotona basta prendere il valore assoluto della differenza dei valori agli estremi dell'intervallo (con l'opportuno limite, se necessario).
Quindi, ad esempio, la variazione totale di \(e^{-x}\) su \([a, +\infty)\) vale \(e^{-a}\).
Ancor più semplicemente, se hai una funzione monotona basta prendere il valore assoluto della differenza dei valori agli estremi dell'intervallo (con l'opportuno limite, se necessario).
Quindi, ad esempio, la variazione totale di \(e^{-x}\) su \([a, +\infty)\) vale \(e^{-a}\).
Tutto chiaro, grazie mille!!! 
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