Funzioni a supporto compatto
Salve! Ho un dubbio : le funzioni continue a supporto compatto si indicano con C_c^{\infty} ?
Invece C_0^{\infty} cosa sta a indicare?
Inoltre, che relazione intercorre tra queste due classi di funzioni e anche con le C^{\infty}?
Grazie 1000:)
Invece C_0^{\infty} cosa sta a indicare?
Inoltre, che relazione intercorre tra queste due classi di funzioni e anche con le C^{\infty}?
Grazie 1000:)
Risposte
Ti ricordo che basta includere le formule tra i dollari per avere un risultato decente nella redazione del post.
$C_0^\infty(X)$ indica le funzioni $C^\infty$ (quindi non solo continue) il cui supporto è un compatto. La notazione $C_c^\infty$ è solo un'alternativa.
Riguardo alla relazione con $C^\infty$, è palese vista la definizione: $C_0^\infty (X) \subset C^\infty (X)$.
Ti lascio con una domanda: le funzioni $C_0^\infty$ sono analitiche?
Paola
$C_0^\infty(X)$ indica le funzioni $C^\infty$ (quindi non solo continue) il cui supporto è un compatto. La notazione $C_c^\infty$ è solo un'alternativa.
Riguardo alla relazione con $C^\infty$, è palese vista la definizione: $C_0^\infty (X) \subset C^\infty (X)$.
Ti lascio con una domanda: le funzioni $C_0^\infty$ sono analitiche?
Paola
Scusa, dimenticavo i $$!
Quindi $C_c^{\infty}$ e $C_0^{\infty}$ sono esattamente la stessa classe di funzioni?
Quindi $C_c^{\infty}$ e $C_0^{\infty}$ sono esattamente la stessa classe di funzioni?
"aram":
Scusa, dimenticavo i $$!
Quindi $C_c^{\infty}$ e $C_0^{\infty}$ sono esattamente la stessa classe di funzioni?
Dipende dagli autori, però. Per certi \(C_0^{\infty}\) indica la classe delle funzioni lisce e che decadono a zero all'infinito.
per "decadono" intendi "tendono" a 0 ?
Ma si, certo.
"prime_number":
Riguardo alla relazione con $C^\infty$, è palese vista la definizione: $C_0^\infty (X) \subset C^\infty (X)$.
Ti lascio con una domanda: le funzioni $C_0^\infty$ sono analitiche?
se per $C_0^\infty$ intendiamo le funzioni c infinito a supporto compatto...perchè non dovrebbero essere olomorfe(=analitiche)?
"aram":
[quote="prime_number"]Riguardo alla relazione con $C^\infty$, è palese vista la definizione: $C_0^\infty (X) \subset C^\infty (X)$.
Ti lascio con una domanda: le funzioni $C_0^\infty$ sono analitiche?
se per $C_0^\infty$ intendiamo le funzioni c infinito a supporto compatto... perchè non dovrebbero essere olomorfe(=analitiche)?[/quote]
Per un noto teorema sulle funzioni analitiche, che sancisce una incompatibilità tra l'annullarsi su un insieme "pieno" e l'essere olomorfa.
per insieme "pieno" s'intende un compatto?
Ma no, non credo. Immagino voglia solo dire insieme con derivato non vuoto, ovvero un insieme che ha dei punti di accumulazione (se ricordi, gli zeri di una funzione olomorfa non identicamente nulla sono tutti... ).
un esempio di funzione $C^{\infty} _0$ può essere $f=P(x)e^{-x^2}$ dove $P(x)$ è un polinomio qualsiasi?
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