Funzioni a quadrato sommabile
Buongiorno, se ho una funzione che è al contempo a quadrato sommabile e assolutamente continua, posso dire che il suo quadrato all'infinito tende a 0? E se si come lo posso dimostrare?
Grazie
Grazie
Risposte
L'ipotesi di assoluta continuità non serve a nulla.
Esistono funzioni $C^oo$ che non fanno quello che chiedi. Puoi provare a costuirne qualcuna di classe $C^1$ che è qualcosa di semplice: basta raccordare sapientemente archi di sinusoidi con tratti di nullo.
Esistono funzioni $C^oo$ che non fanno quello che chiedi. Puoi provare a costuirne qualcuna di classe $C^1$ che è qualcosa di semplice: basta raccordare sapientemente archi di sinusoidi con tratti di nullo.
Dipende però da cosa si intende per "assolutamente continua". Immagino significhi che
\[
f(x)=f(0)+\int_0^x f'(y)\, dy,\]
dove \(f'\) è a priori definita solo quasi ovunque. Si intende anche che
\[
\int_{-\infty}^\infty \lvert f'(y)\rvert\, dy<\infty?\]
Se si, allora la proposizione è vera.
\[
f(x)=f(0)+\int_0^x f'(y)\, dy,\]
dove \(f'\) è a priori definita solo quasi ovunque. Si intende anche che
\[
\int_{-\infty}^\infty \lvert f'(y)\rvert\, dy<\infty?\]
Se si, allora la proposizione è vera.
Mmmm... Dici che l'assoluta continuità implica $f^\prime in L^1(RR)$?
Noo, no, non volevo dire questo. Voglio dire che dipende da cosa si intende per "assolutamente continua". Sono sicuro che qualcuno lo richiede per definizione; qualcuno potrebbe dire che, per definizione, una funzione \(f\) è assolutamente continua su \(\mathbb R\) se
\[
f(x)=f(0)+\int_0^x g(y)\, dy, \]
per una \(g\in L^1(\mathbb R)\). Ecco qua una definizione plausibile di "assolutamente continua". Qualcun altro potrebbe richiedere solo \(g\in L^1_{\mathrm{loc}}(\mathbb R)\). Altra definizione plausibile, peraltro equivalente con la roba usuale con le partizioni dell'intervallo, credo.
In conclusione è meglio se Lorenzo ci spiega che cosa significa "assolutamente continua" per lui.
\[
f(x)=f(0)+\int_0^x g(y)\, dy, \]
per una \(g\in L^1(\mathbb R)\). Ecco qua una definizione plausibile di "assolutamente continua". Qualcun altro potrebbe richiedere solo \(g\in L^1_{\mathrm{loc}}(\mathbb R)\). Altra definizione plausibile, peraltro equivalente con la roba usuale con le partizioni dell'intervallo, credo.
In conclusione è meglio se Lorenzo ci spiega che cosa significa "assolutamente continua" per lui.
Appunto, il fatto che $L_("loc")^1(RR)$ mi pare basti... Però devo verificare, perché non me lo ricordo. 
"dissonance":
Noo, no, non volevo dire questo. Voglio dire che dipende da cosa si intende per "assolutamente continua". Sono sicuro che qualcuno lo richiede per definizione; qualcuno potrebbe dire che, per definizione, una funzione \(f\) è assolutamente continua su \(\mathbb R\) se
\[
f(x)=f(0)+\int_0^x g(y)\, dy, \]
per una \(g\in L^1(\mathbb R)\). Ecco qua una definizione plausibile di "assolutamente continua". Qualcun altro potrebbe richiedere solo \(g\in L^1_{\mathrm{loc}}(\mathbb R)\). Altra definizione plausibile, peraltro equivalente con la roba usuale con le partizioni dell'intervallo, credo.
In conclusione è meglio se Lorenzo ci spiega che cosa significa "assolutamente continua" per lui.
Ora che me lo fai notare la definizione di assoluta continuità che ho richiede \(f\in L^1(\mathbb R)\) e non \(f'\). Però ho anche una richiesta che impone \(f\in L^2(\mathbb R)\)...
Di conseguenza \(f\) dovrebbe appartenere a \(L^2(\mathbb R)\) e a \(L^1(\mathbb R)\) oltre ad essere assolutamente continua...
Come ho detto sopra, la sommabilità della funzione poco importa... Dopotutto, $f in L^2$ se e solo se $f^2 in L^1$ ed $f in AC$ implica $f^2 in AC$; quindi costruire una funzione $f in L^1 nn AC$ così e così è la stessa cosa che costruire $g = f^2 in L^1 nn AC$ così e così.
Se non hai nessun controllo su \(f'\), non hai nessun controllo su \(\lim_{x\to \infty} f(x)\).
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