Funzioni a piu' variabili reali
Ciao a tutti!!!!
Volevo chiedervi alcune cose...
Nello studio di una funzione a piu' variabili reali es. $f(x,y)=x^3+y^3-3x^2(y+1)$ devo procedere in questo modo:
1) Ricerca dei punti critici
2) Discussione della natura
Per la prima parte devo trovare i punti in cui si annullano le derivate parziali...
Per la seconda utilizzando questi punti mi costruisco la matrice Hessiana, e ne studio gli autovalori, in base a questi (stesso segno, o segno opposto) trovo la natura...
Ora quando il determinante della matrice e' nullo vuol dire che almeno un' autovalore e' = 0, e per proseguire nello studio dovrei rivolgermi ai termini successivi dello sviluppo di Taylor di f. Cosa vuol dire? Qualcuno mi sa dire come procedere?
Nella funzione postata sopra, ad esempio, il determinante si annulla per il punto critico in (0,0)
Grazie a tutti...
Volevo chiedervi alcune cose...
Nello studio di una funzione a piu' variabili reali es. $f(x,y)=x^3+y^3-3x^2(y+1)$ devo procedere in questo modo:
1) Ricerca dei punti critici
2) Discussione della natura
Per la prima parte devo trovare i punti in cui si annullano le derivate parziali...
Per la seconda utilizzando questi punti mi costruisco la matrice Hessiana, e ne studio gli autovalori, in base a questi (stesso segno, o segno opposto) trovo la natura...
Ora quando il determinante della matrice e' nullo vuol dire che almeno un' autovalore e' = 0, e per proseguire nello studio dovrei rivolgermi ai termini successivi dello sviluppo di Taylor di f. Cosa vuol dire? Qualcuno mi sa dire come procedere?
Nella funzione postata sopra, ad esempio, il determinante si annulla per il punto critico in (0,0)
Grazie a tutti...
Risposte
Generalmente quando il deter è = 0 non si potrebbe dire nulla del punto critico.
Si può cmq studiare la funzione per restrizioni e vedere il comportamento della funzione nell'intorno del punto.
Questa procedura è illustrata su qualche esempio nella dispensa di Analisi B di Luca Lussardi.
Si può cmq studiare la funzione per restrizioni e vedere il comportamento della funzione nell'intorno del punto.
Questa procedura è illustrata su qualche esempio nella dispensa di Analisi B di Luca Lussardi.
Si studiare i termini di ordine superiore a 2 e' praticamente impossibile: si tratta di oggetti piu' complicati delle matrici. Ad esempio un differenziale terzo puo' essere rappresentato come una sorta di matrice in 3 dimensioni....
In pratica e' necessario ricorrere a uno studio della funzione nell'intorno del punto critico fatto "a mano" con strumenti algebrici. Nella maggior parte dei casi si studia:
$ Delta f(x,y) = f(x,y) - f(x_0,y_0) $
Se $(x_0,y_0)$ e' il punto critico. In particolare se $Delta f$ e' sempre positiva in un intorno del punto vuol dire che siamo in presenza di un minimo (visto che f li' vicino e' sempre piu' grande. Viceversa si ha un massimo. Se $Delta f$ si annulla in ogni intorno di $(x_0,y_0)$, ma mantiene per il resto il segno costante, si ha un minomo-massimo (a seconda del segno) debole.
In pratica e' necessario ricorrere a uno studio della funzione nell'intorno del punto critico fatto "a mano" con strumenti algebrici. Nella maggior parte dei casi si studia:
$ Delta f(x,y) = f(x,y) - f(x_0,y_0) $
Se $(x_0,y_0)$ e' il punto critico. In particolare se $Delta f$ e' sempre positiva in un intorno del punto vuol dire che siamo in presenza di un minimo (visto che f li' vicino e' sempre piu' grande. Viceversa si ha un massimo. Se $Delta f$ si annulla in ogni intorno di $(x_0,y_0)$, ma mantiene per il resto il segno costante, si ha un minomo-massimo (a seconda del segno) debole.
Se invece $Delta f$ , nell'intorno del punto critico, cambia segno a seconda di come tu ti muova , cioè ad esempio se ti muovi lungo la retta $y=x$ , $Delta f$ è positvo , mentre muovendosi lungo la retta $y=-x$ si ha che $Delta f $ è negativo , allora sei in un punto di sella, in quanto secondo di come ti muovi hai un punto di max o di min.
Pensa a un passo di montagna : se sali dalla valle è un punto di max , se invece lo raggiungi dalle cime delle montagne sovrastanti allora è un punto di min ; non è quindi nè l'uno nè l'altro ma un punto di sella.
Camillo
Pensa a un passo di montagna : se sali dalla valle è un punto di max , se invece lo raggiungi dalle cime delle montagne sovrastanti allora è un punto di min ; non è quindi nè l'uno nè l'altro ma un punto di sella.
Camillo
Grazie prima di tutto per le risposte... vi chiedo un esempio.
Ho questa funzione: $x^3+y^3-3x^2(y+1)$
Dopo lo studio ho trovato che i punti critici sono 3: $(0,0) (-2,-2) (2/3,-2/3)$
Mi sono costruito le matrici Hessiane e ho studiato i determinanti per tutti e tre i casi trovando che:
1)$(-2,-2)$ Abbiamo un punto di sella
2)$(2/3,-2/3)$ Abbiamo un punto di sella
3)$(0,0)$ Non so dire nulla in quanto almeno un autovalore e' uguale a 0.
Come studiereste quest'ultimo caso?
Forse vedendo un esempio mi risulta tutto piu' chiaro...
Grazie
PS: Dopo di quste vi devo chiedere anche alcune cose, sulle stesse funzioni ma con il dominio limitato...
Ho questa funzione: $x^3+y^3-3x^2(y+1)$
Dopo lo studio ho trovato che i punti critici sono 3: $(0,0) (-2,-2) (2/3,-2/3)$
Mi sono costruito le matrici Hessiane e ho studiato i determinanti per tutti e tre i casi trovando che:
1)$(-2,-2)$ Abbiamo un punto di sella
2)$(2/3,-2/3)$ Abbiamo un punto di sella
3)$(0,0)$ Non so dire nulla in quanto almeno un autovalore e' uguale a 0.
Come studiereste quest'ultimo caso?
Forse vedendo un esempio mi risulta tutto piu' chiaro...
Grazie
PS: Dopo di quste vi devo chiedere anche alcune cose, sulle stesse funzioni ma con il dominio limitato...
Per esaminare la natura del punto $(0,0)$ esamina $Delta f$ in un intorno del punto in oggetto.
In questo caso $Delta f= f(0,0)$.
Adesso prova a vedere cosa succede avvicinandosi all'origine lungo l'asse y , cioè la retta di eqauzione $x=0$.
$Delta f = y^3$.
Quindi se ti avvicini all'0rigine = punto critico con y positive avrai che $Delta f>0$ e quindi il punto sembrerebbe punto di minimo, se invece ti avvicini all'origine con y negative allora $Delta f<0 $ e sembrerebbe un punto di massimo .
In conclusione poichè il segno di $Delta f$ varia nell'intorno dell'origine vuol dire che è un punto di sella .
Spero di essermi spiegato , se non ti è chiaro chiedi ancora : un diagramma sul piano xy con le crocette + e - , aiuterebbe molto
Camillo
In questo caso $Delta f= f(0,0)$.
Adesso prova a vedere cosa succede avvicinandosi all'origine lungo l'asse y , cioè la retta di eqauzione $x=0$.
$Delta f = y^3$.
Quindi se ti avvicini all'0rigine = punto critico con y positive avrai che $Delta f>0$ e quindi il punto sembrerebbe punto di minimo, se invece ti avvicini all'origine con y negative allora $Delta f<0 $ e sembrerebbe un punto di massimo .
In conclusione poichè il segno di $Delta f$ varia nell'intorno dell'origine vuol dire che è un punto di sella .
Spero di essermi spiegato , se non ti è chiaro chiedi ancora : un diagramma sul piano xy con le crocette + e - , aiuterebbe molto
Camillo
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