Funzioni a più variabili (di funzioni)

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Ciao ancora, vi prego di non odiarmi ma in questi giorni di studio ho accumulato alcune domande e devo cercare di risolverle o ci impazzisco sopra

ho avuto una intuizione che non capisco se sia corretta e soprattutto vorrei formalizzare e non riesco da solo.

Ho pensato ad esempio di avere una funzione del genere

$f(x(r),x'(r),r)$

e il fatto che intuitivamente mi sembra funzionare è questo:

Se la funzione f è costante in r (cioè la derivata parziale rispetto ad r è nulla) allora la funzione è costante derivando per x(r)

Questo intuitivamente mi pare corretto poiché se considerassi $f'=c$ (c=cost.) vorrebbe dire in qualche modo che $x(r)=c$ cosìche defivando f rispetto ad r (composizione trale altre cose di x(r) ) mi restituirebbe zero subendo il processo di derivazione.
Detto questo forse questa costanza di x(r) mi permetterebbe di dimostrare che derivando f rispetto ad x(r) mi restituisce zero? Cioè la costanza rispetto a x(r) che andavo cercando?

Grazie, come sempre, per gli spunti e gli aiuti.

[dissonance]

Non c'è niente di vero, sono solo elucubrazioni sballate perché non fondate su esempi concreti. Prendi la funzione
\[
f(x, y, r):=xy.\]
In particolare, la derivata rispetto alla terza variabile è nulla.

Componi ora con \((x(r), x'(r))\), ottieni
\[
f(x(r), x'(r))=x(r)x'(r). \]
Questa funzione non ha obbligo di essere costante.

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Uhm hai ragione. Ho preso un abbaglio Grazie!

[dissonance]

Il mio consiglio è di fare sempre esempi concreti. Ragionando troppo in astratto si va a finire chissà dove, è successo tante volte anche a me. Inventati sempre un piccolo esempio, ogni volta che studi o congetturi una cosa nuova.

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Ti ringrazio per il consiglio, hai ragione anche su questo: troppo spesso mi faccio voli pindarici.

Grazie grazie