Funzioni a più variabili
Non riesco a comprendere il grafico di tale dominio:
[tex]z^2<=x^2+y^2[/tex],[tex]z>=x^2+y^2[/tex]
[tex]z^2<=x^2+y^2[/tex],[tex]z>=x^2+y^2[/tex]
Risposte
Il primo è un cono, con vertice nell'origine e rivolto verso l'alto, di cui devi prendere l'esterno.
Il secondo è un paraboloide con vertice nell'origine e rivolto verso l'alto, di cui devi prendere l'interno.
Il dominio è ciò che si trova tra il cono e il paraboloide.
Il secondo è un paraboloide con vertice nell'origine e rivolto verso l'alto, di cui devi prendere l'interno.
Il dominio è ciò che si trova tra il cono e il paraboloide.
Dove posso studiare i grafici?
Non ho capito il senso della domanda...
Scusa l'imprecisione. Vorrei sapere se c'è un link dove è possibile notare questi grafici. Io riconosco solo la sfera in 3 variabili e il cilindro...non riesco a comprendere gli altri tipi di grafici
Ah, ora ho capito. Guarda qui: http://it.wikipedia.org/wiki/Quadrica e spulcia anche gli altri link connessi a quella pagina.
grazie tante:P
dovendo fare l'integrale di [tex]f(x,y,z)= xyz[/tex] in quel dominio, ho provato ad effettuare un cambiamento di cordinate in quelle cilindriche, ma mi viene fuori zero...come dovrei fare?
Dunque, devi integrare [tex]$\iiint_A xyz\ dx\ dy\ dz$[/tex], giusto? Il cambiamento in coordinate cilindriche [tex]$x=\rho\cos\theta,\ y=\rho\sin\theta,\ z=z$[/tex] conduce alle condizioni [tex]$z^2\le \rho^2,\ z\ge\rho^2$[/tex] per cui le condizioni diventano [tex]$0\le\rho\le 1,\ 0\le\theta\le 2\pi,\ \rho^2\le z\le\rho$[/tex] e quindi l'integrale risulta
[tex]$\int_0^1\int_0^{2\pi}\int_{\rho^2}^\rho \rho^3 z\sin\theta\cos\theta\ dz\ d\theta d\rho=\int_0^{2\pi}\frac{\sin(2\theta)}{2}\ d\theta\cdot\int_0^1 \rho^3\left(\int_{\rho^2}^\rho z\ dz\right)\ d\rho=0$[/tex]
dal momento che l'integrale dipendente dalla sola [tex]$\theta$[/tex] è nullo.
[tex]$\int_0^1\int_0^{2\pi}\int_{\rho^2}^\rho \rho^3 z\sin\theta\cos\theta\ dz\ d\theta d\rho=\int_0^{2\pi}\frac{\sin(2\theta)}{2}\ d\theta\cdot\int_0^1 \rho^3\left(\int_{\rho^2}^\rho z\ dz\right)\ d\rho=0$[/tex]
dal momento che l'integrale dipendente dalla sola [tex]$\theta$[/tex] è nullo.
Mi trovo proprio così, posso chiederti il motivo per cui è nullo? L'integrale dell'angolo giro viene nullo, ma un volume non dovrebbe avere un valore?
Attento a ciò che stai dicendo: il volume di $A$ è dato dall'integrale [tex]$\iiint_A dx\ dy\ dz$[/tex]. Qui invece stai calcolando qualcosa di differente che, in un certo senso, è un concetto di volume "algebrico" in dimensione $4$: infatti quello che ti chiede un tale integrale è determinare la "quantità" presente sotto il grafico della funzione [tex]$w=f(x,y,z)=xyz$[/tex] sul dominio $A$. Per farti un esempio, in analogia, pensa agli integrali doppi: calcolare [tex]$\iint_D dx\ dy$[/tex] equivale a determinare la superficie totale del dominio piano $D$, mentre calcolare [tex]$\iint_D f(x,y)\ dx\ dy$[/tex] equivale a determinare il volume algebrico (nel senso che può essere composto da porzioni positive e negative) del solido che ha per base il dominio $D$ e per "altezza" le quote [tex]$z=f(x,y)$[/tex] della funzione. Così, ad esempio, se integri la funzione [tex]$f(x,y)=x+y$[/tex] sul dominio [tex]$D=\{x^2+y^2\le 1\}$[/tex] ottieni zero, in quanto è vero che stai cercando di determinare il volume del solido che si ottiene prendendo come base il cerchio di centro l'origine e raggio 1 e altezza quella funzione, ma tale volume è costituito da due pezzi, uno sopra il piano $xOy$, uno sotto di esso, che hanno stesso volume, in modulo, ma di segno diverso.
Ho capito sì. Se nel caso mi capita di integrale un seno lungo tutto il periodo, posso anche tracciarlo tra un quarto di periodo e moltiplicarlo per 4?
"Angelo.V":
Ho capito sì. Se nel caso mi capita di integrale un seno lungo tutto il periodo, posso anche tracciarlo tra un quarto di periodo e moltiplicarlo per 4?
Che? Sinceramente non ti seguo. Cosa vorresti fare?
integrare la funzione seno da 0 a 2π, verrebbe zero a meno che non integrassi da 0 a π /2
Sì, ok, questo è chiaro. Ma non capisco che cosa vuoi sapere.
Se mi capita in una funzione, devo integrare tra 0 e π/2 in modo tale da non alterare il calcolo di un integrale doppio o triplo?
Ma che domanda è? Che intendi devo integrare tra zero e $pi/2$? Devi integrare dove la variabile varia, non è che ti scegli a caso gli estremi di integrazione solo perché vuoi far venire fuori $7$ invece che $-3$!
Sempre per quello che mi hai detto prima, poichè mi trovo zero ad un integrale, ho cambiato gli estremi di integrazione. Invece di integrare il seno su tutta la circonferenza, facevo l'integrazione di un quarto della circonferenza e la moltiplicavo per 4...
Ma ma ma ma ma.... e di grazie, per quale motivo? Mica viene la stessa cosa! Mi sa che hai un po' di confusione sul significato geoemtrico di integrale: se calcoli [tex]$\int_0^{2\pi}\sin t\ dt$[/tex] questo rappresenta le somme delle due aree, quella sopra e quella sotto l'asse delle x) che il grafico della funzione seno delimita: tali areee sono congruenti e hanno, algebricamente, segni opposti, per cui la loro somma è nulla. Ma se calcoli [tex]$4\int_0^{\pi/2}\sin t \ dt$[/tex] quello che fai è determinare l'area che la funzione seno delimita tra zero e $\pi/2$ e moltiplicarla per quattro: in tal modo ottieni il valore di tutta la superficie che la funzione seno racchiude o, equivalentemente, il doppio dell'area tra zero e $\pi$. La setssa cosa la ottieni se calcoli [tex]$\int_0^{2\pi}|\sin t|\ dt$[/tex].
A arte questo, però, cambiare a casaccio gli estremi di integrazione, non solo è sbagliato: è reato punibile con una bocciatura!
A arte questo, però, cambiare a casaccio gli estremi di integrazione, non solo è sbagliato: è reato punibile con una bocciatura!
Questo perchè anche se l'aria è una misura si conservano i segni, cioè se è al disopra dell'sse è +, se al di sotto è -?
Area, non aria. Sì, l'integrale di Riemann conduce a questo: se la funzione che integri è tutta "negativa" il risultato che otterrai è negativo, per cui l'area che calcoli risulta dotata di segno (in quanto si trova sotto l'asse x).
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