Funzioni a gradiente nullo in un aperto connesso
Se una funzione $ f $ ammette gradiente nullo in tutti i punti di un aperto connesso $ A\subseteqR^n $ allora $f$ è costante su $A$.
Ho problemi con i primi step della dimostrazione:
Per ipotesi il gradiente di $f$ è nullo in ogni punto di $A$ quindi vale la seguente catena di implicazioni:
derivate parziali prime continue in $A$ $\rightarrow$ $f$ differenziabile in $A$ $\rightarrow$ $f$ continua in $A$
Dato un punto $x_0\inA$ definiamo i seguenti insiemi:
$ A_1={x\in A:f(x)=f(x_0)} $
$ A_2={x\in A:f(x)\nef(x_0)} $
Adesso arriva la parte che non ho capito. Il libro riporta che $A_2$ è aperto perché $f$ è continua. Per il teorema degli aperti e chiusi definiti da funzioni continue se $g$, definita in tutto $R^n$, è continua allora l’insieme
$ G={x\inR^n:g(x)\ne0} $
è aperto. Posto $ g(x)=f(x)-f(x_0) $ dedurrei che l’insieme $A_1$ è aperto (però $f$ non è definita è continua in tutto $R^n$ ma solo nell’aperto $A$ quindi non saprei….). Il problema è che dallo stesso teorema deriverebbe che l’insieme $A_1$ per il quale $g(x)=0$ sarebbe chiuso e invece tutta la dimostrazione successiva verte sul dimostrare che $A_1$ è aperto. Tutta la parte successiva che sfrutta l’ipotesi di connessione mi è chiara. Il problema é solo questa contraddizione a cui arrivo usando il teorema degli aperti e chiusi definiti da funzioni continue.
Dove sbaglio?
Grazie in anticipo.
Ho problemi con i primi step della dimostrazione:
Per ipotesi il gradiente di $f$ è nullo in ogni punto di $A$ quindi vale la seguente catena di implicazioni:
derivate parziali prime continue in $A$ $\rightarrow$ $f$ differenziabile in $A$ $\rightarrow$ $f$ continua in $A$
Dato un punto $x_0\inA$ definiamo i seguenti insiemi:
$ A_1={x\in A:f(x)=f(x_0)} $
$ A_2={x\in A:f(x)\nef(x_0)} $
Adesso arriva la parte che non ho capito. Il libro riporta che $A_2$ è aperto perché $f$ è continua. Per il teorema degli aperti e chiusi definiti da funzioni continue se $g$, definita in tutto $R^n$, è continua allora l’insieme
$ G={x\inR^n:g(x)\ne0} $
è aperto. Posto $ g(x)=f(x)-f(x_0) $ dedurrei che l’insieme $A_1$ è aperto (però $f$ non è definita è continua in tutto $R^n$ ma solo nell’aperto $A$ quindi non saprei….). Il problema è che dallo stesso teorema deriverebbe che l’insieme $A_1$ per il quale $g(x)=0$ sarebbe chiuso e invece tutta la dimostrazione successiva verte sul dimostrare che $A_1$ è aperto. Tutta la parte successiva che sfrutta l’ipotesi di connessione mi è chiara. Il problema é solo questa contraddizione a cui arrivo usando il teorema degli aperti e chiusi definiti da funzioni continue.
Dove sbaglio?
Grazie in anticipo.
Risposte
Ciao TS778LB,
Proposizione 2.10 a pagina 17 qui.
Nell'ultima riga della pagina c'è chiaramente un errore, $A = A_1 \cup A_2 $
Proposizione 2.10 a pagina 17 qui.
Nell'ultima riga della pagina c'è chiaramente un errore, $A = A_1 \cup A_2 $
Purtroppo non conosco e non è previsto nel mio programma il teorema in base al quale la controimmagine di un aperto mediante una funzione continua è un aperto.
Non riesco in alcun modo a capire perchè $A_2$ sia aperto. Quale sarebbe l’insieme aperto di cui è controimmagine mediante $f$? Sto impazzendo
"TS778LB":
Non riesco in alcun modo a capire perchè $A_2$ sia aperto. Quale sarebbe l’insieme aperto di cui è controimmagine mediante $f$? Sto impazzendo
L'unione di due intervalli aperti \((-\infty, f(x_0))\cup(f(x_0), \infty)\).
Grazie per la risposta ma ho ancora in dubbio: cosa garantisce che l'unione degli intervalli da te proposti sia contenuta nel codominio di $f$? Inoltre, applicando lo stesso ragionamento per l'insieme $A_1$, troverei che è controimmagine di un chiuso mediante $f$ ed è quindi un chiuso. Però subito dopo si passa a dimostrare che $A_1$ è un aperto!
Infatti è proprio quello il punto, è un chiuso ma anche un aperto, e quindi per connessione deve per forza coincidere con il dominio di \(f\). L'altra domanda non è un problema, puoi considerare che il codominio di \(f\) sia tutto \(\mathbb R\).
Adesso si che è chiaro! Sei stato gentilissimo
Posso usare questo metodo per dire che $A_2$ è aperto? Oppure il teorema vale solo se il dominio di $f$ è tutto $R^n$?
"TS778LB":
Per il teorema degli aperti e chiusi definiti da funzioni continue se $ g $, definita in tutto $ R^n $, è continua allora l’insieme
$ G={x\inR^n:g(x)\ne0} $
è aperto. Posto $ g(x)=f(x)-f(x_0) $ dedurrei che l’insieme $ A_1 $ è aperto (però $ f $ non è definita è continua in tutto $ R^n $ ma solo nell’aperto $ A $ quindi non saprei….)
Grazie in anticipo.
Posso usare questo metodo per dire che $A_2$ è aperto? Oppure il teorema vale solo se il dominio di $f$ è tutto $R^n$?
Queste sono cose di base di topologia. Vale lo stesso se il dominio è un aperto. In realtà vale qualsiasi sia il dominio, ma poi bisogna specificare cosa significa "aperto" in quel caso.
Non faccio queste cose da un po', ma penso che tu possa usare questo procedimento.
Supponi per assurdo che esistano \(x,y\in A\) tali che \(f(x)\neq f(y)\). Sia quindi \(\gamma\colon [0,1] \to A\) un cammino \(C^{\infty}\) tra di loro, ovvero \(\gamma\) è una funzione continua e infinitamente derivabile tale che \(\gamma(0) = x\) e \(\gamma(1) = y\). A questo punto applichi il teorema di Lagrange a \(f\circ \gamma\) producendo un assurdo.
Ovviamente ho saltato due punti importanti:
[list=1][*:1db6as3b] Che il cammino esiste.[/*:m:1db6as3b]
[*:1db6as3b] Che tu possa applicare il teorema di Lagrange alla funzione \(f\circ \gamma\). [/*:m:1db6as3b][/list:o:1db6as3b]
Ma non sono troppo complessi.
Detto questo, la dimostrazione topologica è senz'altro migliore da un punto di vista didattico.
Supponi per assurdo che esistano \(x,y\in A\) tali che \(f(x)\neq f(y)\). Sia quindi \(\gamma\colon [0,1] \to A\) un cammino \(C^{\infty}\) tra di loro, ovvero \(\gamma\) è una funzione continua e infinitamente derivabile tale che \(\gamma(0) = x\) e \(\gamma(1) = y\). A questo punto applichi il teorema di Lagrange a \(f\circ \gamma\) producendo un assurdo.
Ovviamente ho saltato due punti importanti:
[list=1][*:1db6as3b] Che il cammino esiste.[/*:m:1db6as3b]
[*:1db6as3b] Che tu possa applicare il teorema di Lagrange alla funzione \(f\circ \gamma\). [/*:m:1db6as3b][/list:o:1db6as3b]
Ma non sono troppo complessi.
Detto questo, la dimostrazione topologica è senz'altro migliore da un punto di vista didattico.
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