Funzioni a due variabili (dominio, parti del piano in cui assume valori positivi e punti estremali)
Salve,
vorrei togliermi qualche dubbio visto che il 20 ho un esame di matematica (studio economia. Prendendo in considerazione la funzione $ f(x,y)=ln(2y+3x^2-1)$ (è una traccia di esami scorsi), l'esercizio mi chiede di determinare:
1)l'insieme di definizione (quindi suppongo il dominio)
2)l'insieme dei punti del piano in cui assume valori positivi (segno)
3)eventuali punti estremali (massimo e minimo)
1) Comincio col determinare il dominio ponendo argomento>0 e quindi $2y+3x^2-1>0$ che implica $y> -3/2x^2+1/2$ che sarebbe una parabola. Qui ho pensato di trovare il vertice $V(0;-1/2)$ e di escludere l'interno della parabola visto che la funzione è maggiore di essa
2) Calcolo poi il segno ponendo $ln(2y+3x^2-1)>0$ che diventa $ln(2y+3x^2-1)>ln1$ => $2y+3x^2-1>1$ => $y> -3/2x^2+1$ quindi direi che non dice nulla di nuovo rispetto al dominio
3) Per quanto riguarda i punti estremali avrei maggiori perplessità: se fosse stata una funzione razionale intera sarebbe stato semplice calcolare f'x e f'y; con il logaritmo invece come si dovrebbe fare per calcolare la derivata?
Ringrazio già chi mi darà un aiuto e chiedo in anticipo scusa nel caso abbia usato termini sbagliati o commesso eresie
vorrei togliermi qualche dubbio visto che il 20 ho un esame di matematica (studio economia. Prendendo in considerazione la funzione $ f(x,y)=ln(2y+3x^2-1)$ (è una traccia di esami scorsi), l'esercizio mi chiede di determinare:
1)l'insieme di definizione (quindi suppongo il dominio)
2)l'insieme dei punti del piano in cui assume valori positivi (segno)
3)eventuali punti estremali (massimo e minimo)
1) Comincio col determinare il dominio ponendo argomento>0 e quindi $2y+3x^2-1>0$ che implica $y> -3/2x^2+1/2$ che sarebbe una parabola. Qui ho pensato di trovare il vertice $V(0;-1/2)$ e di escludere l'interno della parabola visto che la funzione è maggiore di essa
2) Calcolo poi il segno ponendo $ln(2y+3x^2-1)>0$ che diventa $ln(2y+3x^2-1)>ln1$ => $2y+3x^2-1>1$ => $y> -3/2x^2+1$ quindi direi che non dice nulla di nuovo rispetto al dominio
3) Per quanto riguarda i punti estremali avrei maggiori perplessità: se fosse stata una funzione razionale intera sarebbe stato semplice calcolare f'x e f'y; con il logaritmo invece come si dovrebbe fare per calcolare la derivata?
Ringrazio già chi mi darà un aiuto e chiedo in anticipo scusa nel caso abbia usato termini sbagliati o commesso eresie
Risposte
Il punto $1$ va bene. Il vertice però è $(0,1/2)$.
Nel punto $2$, sapendo che il logaritmo di una funzione è positivo quando il suo argomento è strettamente maggiore di $1$, si ha $2y^2+3x^2 -2>0$. Non è uguale a prima, infatti il vertice di tale parabola cambia.
La derivata del logaritmo si fa ovuqnue alle superiori, e mi sembra impossibile che a Economia non sia stata fatta
E' $d/(dt) log(t)=1/t$, per $t!=0$.
Per studiare i punti critici è necessario guardare dove si annulla il gradiente della funzione. Cioè risolvere $grad (f(x,y))=vec0$
Nel punto $2$, sapendo che il logaritmo di una funzione è positivo quando il suo argomento è strettamente maggiore di $1$, si ha $2y^2+3x^2 -2>0$. Non è uguale a prima, infatti il vertice di tale parabola cambia.
La derivata del logaritmo si fa ovuqnue alle superiori, e mi sembra impossibile che a Economia non sia stata fatta
E' $d/(dt) log(t)=1/t$, per $t!=0$.
Per studiare i punti critici è necessario guardare dove si annulla il gradiente della funzione. Cioè risolvere $grad (f(x,y))=vec0$
Conoscendo inoltre com'è fatta la funzione logaritmo è però evidente che in questo caso non ci sono massimi e minimi globali...
Sìsì sono stati trattati tutti i tipi di derivate ma essendo una funzione a due variabili mi ha un po' bloccato. Se prendo in considerazione questa funzione: $ 6xy-x^2y-xy^2 $ avremo $f'x=6y-2xy-y^2$ e $f'y=6x-x^2-2xy$. Con questa funzione invece? Dovrei calcolare la derivata dell'intera funzione prima?
Nel caso di due variabili si parla di derivate parziali... e $vecgrad$ è il vettore che ha per righe tali derivate.
Nel tuo caso, la funzione è pure composta, cioè è del tipo $z(x)=f(g(x))$, con $f,g$ funzioni, e per la derivata vale la regola della "catena" $z'(x)=f'(g(x))*g'(x)$.
Quindi la derivata parziale rispetto a $x$ sarà: $(6x)/(2y+3x^2-1)$.
Nel tuo caso, la funzione è pure composta, cioè è del tipo $z(x)=f(g(x))$, con $f,g$ funzioni, e per la derivata vale la regola della "catena" $z'(x)=f'(g(x))*g'(x)$.
Quindi la derivata parziale rispetto a $x$ sarà: $(6x)/(2y+3x^2-1)$.
E invece per quanto riguarda y avremo 2 al numeratore e l'argomento di $f(x,y)$ al denominatore
Credo di aver capito. Grazie mille dell'aiuto
Credo di aver capito. Grazie mille dell'aiuto
Sì, è esatto. Prego
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