Funzioni a Due Variabili
Ciao Ragazzi volevo chiedere delucidazioni riguardante questo esercizio che non riesco a fare vi chiedevo se riuscivate a risolvermelo cosi poi lo uso come guida per altri esercizi.
$f(x,y)={((log^3|x|-y^3)^alpha,log|x|>y),(0, log|x|<=y):}$
dove $alpha$ è un parametro positivo.
a) Determinare per quali valori di $alpha$ , se ve ne sono ,$f$ è differenziabile in (1,0)
b) Siano $alpha=1/3$ e $v= (1,-1)$ . Determinare la derivata direzionale di $f$ in (1,0)
c) Sia $alpha=1/2$ . Determinare gli estremi assoluti di $f$ in $A=[2,3]xx[-1,1]$, se esistono.
$f(x,y)={((log^3|x|-y^3)^alpha,log|x|>y),(0, log|x|<=y):}$
dove $alpha$ è un parametro positivo.
a) Determinare per quali valori di $alpha$ , se ve ne sono ,$f$ è differenziabile in (1,0)
b) Siano $alpha=1/3$ e $v= (1,-1)$ . Determinare la derivata direzionale di $f$ in (1,0)
c) Sia $alpha=1/2$ . Determinare gli estremi assoluti di $f$ in $A=[2,3]xx[-1,1]$, se esistono.
Risposte
I primi due punti li farei cosi:
a) per essere differenziabile una funzione devono esistere le derivate in tale punto quindi,se non mi sbaglio, farei:
$(delf)/(delx)(x_0)=lim_(x->1)(f(x,0)-f(0,0))/(x-1)=lim_(x->1)((log^3|x|)^alpha/(x-1))=0$ per qualsiasi $alpha>0$
$(delf)/(dely)(x_0)=lim_(y->0)(f(1,y)-f(1,0))/(y)=lim_(y->0)((-y^3)^alpha/(y))=0$ per $alpha>1/3$
Qui ho il primo dubbio perchè non so se $alpha$ è maggiore uguale o maggiore strettamente di $1/3$
Quindi secondo me la funzione è differenziabile per $alpha>1/3$
b) Se $alpha=1/3$ la funzione diventa $f(x,y)=log|x|-y $
Quindi la derivata direzionale diventa
$(delf)/(delv)(x_0)=lim_(t->0)(f(1+t,-t)-f(1,0))/(t)=lim_(t->0)((log(1+t)+t)/(t))=2$
Il terzo punto invece non so neanche come iniziarlo perchè non riesco a interpretare l'intervallo. Una vostra mano a risolverlo sarebbe molto gradita grazie ragazzi.
a) per essere differenziabile una funzione devono esistere le derivate in tale punto quindi,se non mi sbaglio, farei:
$(delf)/(delx)(x_0)=lim_(x->1)(f(x,0)-f(0,0))/(x-1)=lim_(x->1)((log^3|x|)^alpha/(x-1))=0$ per qualsiasi $alpha>0$
$(delf)/(dely)(x_0)=lim_(y->0)(f(1,y)-f(1,0))/(y)=lim_(y->0)((-y^3)^alpha/(y))=0$ per $alpha>1/3$
Qui ho il primo dubbio perchè non so se $alpha$ è maggiore uguale o maggiore strettamente di $1/3$
Quindi secondo me la funzione è differenziabile per $alpha>1/3$
b) Se $alpha=1/3$ la funzione diventa $f(x,y)=log|x|-y $
Quindi la derivata direzionale diventa
$(delf)/(delv)(x_0)=lim_(t->0)(f(1+t,-t)-f(1,0))/(t)=lim_(t->0)((log(1+t)+t)/(t))=2$
Il terzo punto invece non so neanche come iniziarlo perchè non riesco a interpretare l'intervallo. Una vostra mano a risolverlo sarebbe molto gradita grazie ragazzi.
a) prima della derivabilità/differenziabilità, andrebbe verificata la continuità della funzione, non credi?
b) ahhhhhhhhhhhhhhh, muoioooooooooooooo!!!! Secondo te $\root[3]{27-8}$ e $3-2$ hanno lo stesso valore?????
c) prima capiamo gli altri due punti.
b) ahhhhhhhhhhhhhhh, muoioooooooooooooo!!!! Secondo te $\root[3]{27-8}$ e $3-2$ hanno lo stesso valore?????
c) prima capiamo gli altri due punti.
Mi pare che continua lo sia per $alpha$>0
E il secondo punto l ho cannato in pieno.. Mi potresti indicare la soluzione?
E il secondo punto l ho cannato in pieno.. Mi potresti indicare la soluzione?
continua lo lo è $ AA alpha in RR $ il secondo punto usando la definizione di derivata direzionale, dovrebbe venire:
$(delf) / (delv)(1,0) = lim_(t->0)(f(1+t,0-t)-f(1,0))/t = lim_(t->0)((log^3(|1+t|) + t^3)^(1/3) - 0)/t = lim_(t->0)(((log^3(|1+t|)t^3/t^3) + t^3)^(1/3) )/t $
$ lim_(t->0)((root(3)2)t)/t = root(3)2 $
$(delf) / (delv)(1,0) = lim_(t->0)(f(1+t,0-t)-f(1,0))/t = lim_(t->0)((log^3(|1+t|) + t^3)^(1/3) - 0)/t = lim_(t->0)(((log^3(|1+t|)t^3/t^3) + t^3)^(1/3) )/t $
$ lim_(t->0)((root(3)2)t)/t = root(3)2 $
Ciao appa91, sbaglio o hai posto la stessa domanda di couch7 qui? Forse frequentate lo stesso corso e magari vi conoscete...
"gio73":
Ciao appa91, sbaglio o hai posto la stessa domanda di couch7 qui? Forse frequentate lo stesso corso e magari vi conoscete...
si ci conosciamo e frequentiamo lo stesso corso.. siamo rimasti tutti e due "impigliati" su analisi!
Si siamo nello stesso corso...comunque l'insieme $A=[2,3]xx[-1,1] $ come è definito, cioè come lo rappresento sul piano xy
Non trovate sia inutile postare la stessa domanda due volte?
Io chiuderei l'altro topic, così non si disperdono le risposte.
Io chiuderei l'altro topic, così non si disperdono le risposte.
io nell'altro post non ho posto questa domanda.. ne ho posto un'altra usando come esempio, per essere più chiaro. questa funzione. Comunque ho ottenuto la risposta che cercavo quindi penso si possa anche chiudere...
Però io non ho ancora ottenuto una risposta alla mia domanda riguardante l intervallo.......
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