Funzioni a decrescenza rapida e funzioni sommabili
Ciao a tutti! Ho un piccolo dubbio: una funzione a decrescenza rapida (funzioni dello spazio S(R)) sono sempre anche funzioni di L1?
Perché una funzione di S è per definizione una funzione C infinito quindi anche continua, inoltre proprio perché è a decrescenza rapida non darà problemi di sommabilità all'infinito. Quindi mi verrebbe da dire che se f(x) sta in S allora sta anche in L1. Corretto? Grazie a tutti!
P.S. mi scuso se non ho usato Latex ma non mi è comparso il pulsante apposito per inserire le formule! Grazie ancora!
Perché una funzione di S è per definizione una funzione C infinito quindi anche continua, inoltre proprio perché è a decrescenza rapida non darà problemi di sommabilità all'infinito. Quindi mi verrebbe da dire che se f(x) sta in S allora sta anche in L1. Corretto? Grazie a tutti!
P.S. mi scuso se non ho usato Latex ma non mi è comparso il pulsante apposito per inserire le formule! Grazie ancora!
Risposte
Per inserire le formule basta racchiuderle tra due simboli di dollaro.
Se $f\in\mathcal{S}(\mathbb{R})$, si avrà
$\int_{\mathbb{R}}|f(x)|dx =\int_{-1}^1 |f(x)|dx + \int_{\mathbb{R}\setminus [-1,1]} \frac{1}{x^2} |x^2 f(x)|dx \leq 2 \max_{[-1,1]}|f| + $sup$_{\mathbb{R}}|x^2 f(x)| 2\int_1^\infty \frac{1}{x^2}dx <\infty$
Paola
Se $f\in\mathcal{S}(\mathbb{R})$, si avrà
$\int_{\mathbb{R}}|f(x)|dx =\int_{-1}^1 |f(x)|dx + \int_{\mathbb{R}\setminus [-1,1]} \frac{1}{x^2} |x^2 f(x)|dx \leq 2 \max_{[-1,1]}|f| + $sup$_{\mathbb{R}}|x^2 f(x)| 2\int_1^\infty \frac{1}{x^2}dx <\infty$
Paola
Grazie mille! Mi hai risolto un dubbio!:)
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