Funzioni

[Newton_1372]

1). Come posso dimostrare che la funzione $\log x - e^x $ non tocca mai lo 0? Facendo lo studio delle derivate si scopre che all'onizio la funzione è crescente, poi ha un punto di massimo ed infine ridiscende...ma come faccio a dimostrare che fin nel punto di massimo la funzione non arriva mai a 0, ma è tutta negativa?

2). Come posso studiare la funzione x^x? Anche facendo le derivate trovo sempre x^x, quindi è il gatto che si morde la coda...qualche suggerimento?

[Rigel1]

a) La funzione $f(x) = \log x$ è concava; in particolare $f(x) \le f(1) + f'(1)(x-1)$ per ogni $x>0$, vale a dire $\log x \le x-1$ per ogni $x>0$.
b) La funzione $g(x) = e^x$ è convessa; in particolare $g(x) \ge g(0) + g'(0) x$ per ogni $x$, vale a dire $e^x \ge x+1$ per ogni $x$.
Per rispondere a 1) basta combinare a) e b).

2) Ricorda che $x^x = e^{x\log x}$.

[Newton_1372]

Riguardo alla a non c'è nessun altro sistema? Le nozioni di convessità e concavità sono esposte nel capitolo successivo...c'è un modo per dimostrare che quella funzione non ha nessuno zero? Magari usando il calcolo delle derivate...magari potremmo provare a calcolarci il punto in cui la derivata è 0..e calcolandoci la f(t) con t tale punto, magari potremmo vedere che f(t) è negativa...

[Zilpha]

si in effetti potresti fare così

[Rigel1]

La funzione $f(x) = \log x - e^x$ è banalmente negativa per $x\in (0,1]$.
D'altra parte $f'(x) = \frac{1}{x}-e^x \le 1-e < 0$ per $x\ge 1$, quindi $f$ è monotona decrescente in $[1,+\infty)$. Di conseguenza $f(x) \le f(1) = -e < 0$ anche per $x\ge 1$.

[Newton_1372]

Derivata di a) sarebbe $1/x - e^x$. Porla uguale a zero significherebbe scrivere
$1/x-e^x=0\implies 1/x=e^x\implies e^log(1/x)=e^x \implies log(1/x) =x\implies log 1 - log x = x \implies x = -log x$
bloccato