Funzioni

[westerly]

Mi aiutate a comprendere meglio questa funzione nel suo complesso:

limite inferiore e superiore; punti di flesso; punto di minimo e massimo relativo;derivabilità in tutto/parte campo di esistenza; la sua definizione per x diverso da zero e eventuale asintono per x tendente a +infinito;

f(x)=x(1-log^2 x) (leggi log al quadrato)



mille grazie

[goblyn]

f(x)=x(1-log^2 x)

DOMINIO

x>0 (dal logaritmo)

LIMITI

limite per x-->0+

f(x) = (1-log^2(x))/(1/x)

per x-->0+ si ha una forma del tipo inf/inf. Applichiamo de l'hopital:

otteniamo derivando num e den: 2x*log(x) = 2*log(x)/(1/x)
Ancora forma indet. Applichiamo ancora de l'hopital:

otteniamo -x. Il limite è quindi 0-.

Il limite per x-->+inf è invece chiaramente -inf.

SEGNO

Poniamo maggiori di 0 i due fattori:

x>0
1-log^2(x)>=0

x>0
-1<=log(x)<=1

x>0
1/e<=x<=e

Quindi la funzione è positiva in (1/e;e) e negativa in (0;1/e) e (e;+inf). Si annulla in x=1/e e in x=e.

DERIVATA PRIMA

f'(x) = 1 - log^2(x) - 2*log(x)

Studiamone il segno. Poniamo t=log(x):

-t^2-2t+1>=0

-1-sqrt(2)
-1-sqrt(2)
(1/e)*e^(-sqrt(2))
Quindi si ha un minimo in x=(1/e)*e^(-sqrt(2)) e un max in x=(1/e)*e^(sqrt(2)).

DERIVATA SECONDA

f''(x) = -2/x - 2*log(x)/x = -2/x * (1+log(x))

Poniamo >0 i fattori:

1+log(x)>0
-x>0

log(x)>-1
x<0

x>(1/e)
x<0

Quindi la derivata seconda è positiva se 0
x=1/e è quindi un flesso con tangente pari a f'(1/e)=2.



Modificato da - goblyn il 07/02/2004 11:45:27