Funzioni 2 variabili hessiano nullo
Salve a tutti
devo trovare i punti di max e min della funzione:
$ f(x,y)=x^2-xy^2-y^3 $
allora determino le derivate prime e i punti critici risultano
A $(0,0)$ B $(9/2 , -3)$
ora trovo le derivate seconde e quelle miste e calcolo l'Hessiano, lo valuto nel punto B e viene negativo, quindi concludo che è un punto di sella.
Quando lo valuto in A, ottengo che ha valore 0.
allora procedo a valutare l'incremento della funzione:
$\Delta f(x,y)=f(x,y)-f(0,0)=x^2-xy^2-y^3 $
dunque la impongo maggiore o uguale a zero
$\Delta f(x,y) \geq 0 $
la funzione è maggiore o uguale a zero se $ x \leq -y $
ora io mi sono fermato qua
quindi vorrei sapere se il procedimento è corretto , se ho commesso degli errori di calcolo, e soprattutto una volta giunti a questo risultato, che conclusione posso trarre?
Grazie a tutti .
devo trovare i punti di max e min della funzione:
$ f(x,y)=x^2-xy^2-y^3 $
allora determino le derivate prime e i punti critici risultano
A $(0,0)$ B $(9/2 , -3)$
ora trovo le derivate seconde e quelle miste e calcolo l'Hessiano, lo valuto nel punto B e viene negativo, quindi concludo che è un punto di sella.
Quando lo valuto in A, ottengo che ha valore 0.
allora procedo a valutare l'incremento della funzione:
$\Delta f(x,y)=f(x,y)-f(0,0)=x^2-xy^2-y^3 $
dunque la impongo maggiore o uguale a zero
$\Delta f(x,y) \geq 0 $
la funzione è maggiore o uguale a zero se $ x \leq -y $
ora io mi sono fermato qua
quindi vorrei sapere se il procedimento è corretto , se ho commesso degli errori di calcolo, e soprattutto una volta giunti a questo risultato, che conclusione posso trarre?
Grazie a tutti .
Risposte
Puoi considerare le restrizioni di $f$ agli assi cartesiani: sull'asse $x$ $f$ è sempre non negativa, mentre sull'asse $y$ $f$ è positiva se e solo se $y<0$, quindi negativa per $y>0$. Segue che $A(0,0)$ è di sella (un disegno rende chiara la situazione, se non lo è già) 
Ok è chiaro , grazie.
Ma il procedimento che ho illustrato prima è sbagliato , o semplicemente non sufficiente a determinare se A è un punto di max o min?
Ma il procedimento che ho illustrato prima è sbagliato , o semplicemente non sufficiente a determinare se A è un punto di max o min?
Se parli di questo:
Sì, il procedimento è corretto, nel senso che ti devi effettivamente studiare il $\Delta f$.
Se riesci a trovare un intorno di $A$ in cui $f(x,y)-f(A)\ge 0$ o $f(x,y)-f(A)\le 0$, allora ha dimostrato che $A$ è un punto di minimo o di massimo (hai semplicemente applicato la definizione). Se un siffatto intorno non esiste, ovvero se preso un intorno a muzzo $U$ di $A$ riesci sempre a trovare due punti $P_1,P_2\in U$ tali che $f(P_1)-f(A)>0$ e $f(P_2)<0$, allora hai dimostrato che $A$ è di sella (per visualizzare la situazione, immagina una patatina Pringles
).
"sici_90":
Quando lo valuto in A, ottengo che ha valore 0.
allora procedo a valutare l'incremento della funzione:
$ \Delta f(x,y)=f(x,y)-f(0,0)=x^2-xy^2-y^3 $
Sì, il procedimento è corretto, nel senso che ti devi effettivamente studiare il $\Delta f$.
Se riesci a trovare un intorno di $A$ in cui $f(x,y)-f(A)\ge 0$ o $f(x,y)-f(A)\le 0$, allora ha dimostrato che $A$ è un punto di minimo o di massimo (hai semplicemente applicato la definizione). Se un siffatto intorno non esiste, ovvero se preso un intorno a muzzo $U$ di $A$ riesci sempre a trovare due punti $P_1,P_2\in U$ tali che $f(P_1)-f(A)>0$ e $f(P_2)<0$, allora hai dimostrato che $A$ è di sella (per visualizzare la situazione, immagina una patatina Pringles
).
ok allora la patatina pringles mi sta aiutando. 
Diciamo che la teoria dell argomento mi è chiara , ma quando vado ad applicarla mi trovo in difficoltà.
Nell'esercizio che ho proposto, quando arrivo alla conclusione che $\Delta f \geq0 $ se $x≤−y$
come spiego che A è un punto di sella?
Diciamo che la teoria dell argomento mi è chiara , ma quando vado ad applicarla mi trovo in difficoltà.
Nell'esercizio che ho proposto, quando arrivo alla conclusione che $\Delta f \geq0 $ se $x≤−y$
come spiego che A è un punto di sella?
Dicendo che si ha anche $\Delta f(0,y)<0$ per ogni $y>0$. Ti conviene aiutarti con un disegno per afferrare: disegna una cerchio di raggio quanto ti pare centrato in $A$. In base a quanto detto, riesci in ogni caso ad individuare al suo interno un punto $P_1(x_1,y_1)$ con $x_1\le -y_1$ tale che $f(P_1)-f(A)>0$, e un punto $P_2(0,y_2)$, con $y_2>0$ tale che $f(P_2)-f(A)<0$. Questo dimostra che $A$ è di sella.
Per "spiegarlo", basta che riscrivi il ragionamento che ho appena fatto in matematichese
Per "spiegarlo", basta che riscrivi il ragionamento che ho appena fatto in matematichese
OKOK !
Grazie mille!
Grazie mille!
E' possibile avere un punto con hessiano nullo che sia diverso da $(0,0)$ ? Se si allora devo porre $f(x1,0) f(0,y1)$ ?
"HeavenAProfit":
E' possibile avere un punto con hessiano nullo che sia diverso da $(0,0)$ ?
sì
"HeavenAProfit":
Se si allora devo porre $f(x1,0) f(0,y1)$ ?
Si cercherà la strada migliore caso per caso. Hai un esempio?
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