Funzioni
Data la funzione h: Q→ Q
h(q)= 4q +1/2
verifica che sia biettiva e trova l’inversa.
Ho verificato che è iniettiva, infatti h(q1)=h(q2) → 4q1+1/2=4q2 +1/2→q1=q2
ma non riesco a verificare che sia suriettiva.
Mi potete dare una mano?
h(q)= 4q +1/2
verifica che sia biettiva e trova l’inversa.
Ho verificato che è iniettiva, infatti h(q1)=h(q2) → 4q1+1/2=4q2 +1/2→q1=q2
ma non riesco a verificare che sia suriettiva.
Mi potete dare una mano?
Risposte
Prova con la definizione: dato $r$ razionale cerca $q$ razionale tale che $r=4q+1/2$.
Ho provato a seguire la definizione ma mi vengono due risultati diversi. Se provo infatti a sostituire (1) a r e q nel primo caso mi viene 1/8, nel secondo 9/2 che sono due risultati diversi e quindi non verificano che la funzione è suriettiva.
Temo che tu non abbia capito la definizione di funzione suriettiva: $f :A \to B$ è suriettiva se per ogni $y\in B$ esiste $x\in A$ con $f(x)=y$. Nel tuo caso per ogni $r\in\mathbb Q$ devi trovare $q\in\mathbb Q$ tale che $r=f(q)=4q+1/2$... è un'equazione di primo grado in $q$.
Sto cercando di capire ma mi risulta difficile. Cosa devo fare per verificare che la funzione è suriettiva? Io so per certo che per essere tale per ogni elemento del codominio (in questo caso Q) deve corrispondere uno e uno solo elemento del dominio (sempre Q). Allora data la funzione r= 4q +1/2 che devo fare? Se mi elenchi i passaggi forse leggendoli capisco meglio.
Innanzitutto la tua nozione di funzione suriettiva è sbagliata.
Dati due insiemi \( S \) e \( T \) ed una funzione di \( f \colon S \to T \), questa è suriettiva se e solo se ogni elemento del codominio \( T \) è immagine di almeno un elemento del dominio \( S \). Non è dunque richiesto che gli elementi del codominio siano ciascuno immagine di un unico elemento del dominio: potrebbe benissimo darsi il caso che ci siano alcuni elementi del codominio che siano immagine di più di un elemento del dominio. La cosa importante è che tutti gli elementi del codominio siano immagine di qualche elemento del dominio, i.e. che tutti gli elementi del codominio siano usati come immagini. In altre parole occorre controllare che \( T = \operatorname{Im} ( S ) \). Come si fa questo nella pratica, soprattutto quando la legge che definisce la funzione è rappresentata da un'equazione? Si prende l'equazione e la si risolve prendendo come incognita la variabile che figura come elemento del dominio e si controlla che la soluzione così ottenuta sia utilizzabile con tutti gli elementi del codominio.
Esempio. Considero la funzione \( g \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) definita da \( y = 3x + 6 \), dove al solito \( x \) è la variabile che figura come elemento del dominio (variabile indipendente) e \( y \) è la variabile che figura come elemento del codominio (variabile dipendente). Prendo \( y = 3x + 6 \) e la risolvo prendendo \( x \) come incognita, i.e. la risolvo rispetto a \( x \): ottengo quindi \( \displaystyle x = \frac{ y - 6}{ 3 } \); ora: ci sono forse elementi \( y \) del codominio \( \mathbb{R} \) con i quali non sia utilizzabile \( \displaystyle \frac{ y - 6 }{ 3 } \)? Se la risposta è sì, allora la funzione non è suriettiva, se la risposta è no, allora la funzione è suriettiva.
Dati due insiemi \( S \) e \( T \) ed una funzione di \( f \colon S \to T \), questa è suriettiva se e solo se ogni elemento del codominio \( T \) è immagine di almeno un elemento del dominio \( S \). Non è dunque richiesto che gli elementi del codominio siano ciascuno immagine di un unico elemento del dominio: potrebbe benissimo darsi il caso che ci siano alcuni elementi del codominio che siano immagine di più di un elemento del dominio. La cosa importante è che tutti gli elementi del codominio siano immagine di qualche elemento del dominio, i.e. che tutti gli elementi del codominio siano usati come immagini. In altre parole occorre controllare che \( T = \operatorname{Im} ( S ) \). Come si fa questo nella pratica, soprattutto quando la legge che definisce la funzione è rappresentata da un'equazione? Si prende l'equazione e la si risolve prendendo come incognita la variabile che figura come elemento del dominio e si controlla che la soluzione così ottenuta sia utilizzabile con tutti gli elementi del codominio.
Esempio. Considero la funzione \( g \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) definita da \( y = 3x + 6 \), dove al solito \( x \) è la variabile che figura come elemento del dominio (variabile indipendente) e \( y \) è la variabile che figura come elemento del codominio (variabile dipendente). Prendo \( y = 3x + 6 \) e la risolvo prendendo \( x \) come incognita, i.e. la risolvo rispetto a \( x \): ottengo quindi \( \displaystyle x = \frac{ y - 6}{ 3 } \); ora: ci sono forse elementi \( y \) del codominio \( \mathbb{R} \) con i quali non sia utilizzabile \( \displaystyle \frac{ y - 6 }{ 3 } \)? Se la risposta è sì, allora la funzione non è suriettiva, se la risposta è no, allora la funzione è suriettiva.
Ho capito tutto tranne la parte finale. In particolare non mi è chiara la parte "non sia utilizzabile". Se prendo qualsiasi elemento appartenente a R e lo sostituisco a y nell'equazione (y-6)/3 troverò sempre un elemento che è compreso nell'insieme R.
Appunto: quindi \( \displaystyle \frac{y - 6}{3} \) si può "usare" con ogni elemento del codominio \( \mathbb{R} \) e i valori che si ottengono sono sempre elementi del dominio \( \mathbb{R} \). Quindi la funzione è suriettiva.
Devi fare la stessa cosa con la tua funzione \( \displaystyle f \colon q \in \mathbb{Q} \to 4q + \frac{1}{2} = h \in \mathbb{Q} \).
Devi fare la stessa cosa con la tua funzione \( \displaystyle f \colon q \in \mathbb{Q} \to 4q + \frac{1}{2} = h \in \mathbb{Q} \).
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